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MÉCANIQUE. — Sur une formule donnant approximativement le moment 

 de torsion. Note de M. de Saint-Venant. 



« 1. Dans nos Communications des 2 et 9 décembre 1878 {Comptes 

 rendus, p. 8^9 et SgS), nous avons appliqué à des prismes à base de sec- 

 teurs pleins ou évidés les principes sur la torsion des pièces élastiques qui, 

 exposés en 1847 et surtout en i853 {Savants étrangers, t. XIV), puis 

 adoptés par Cauchy en i854 {Comptes rendus, 20 février, t. XXXVIIT, 

 p. 326), par M. Kirchhoffen iS5g {Journal de Crelle, t. VI), par Clebsch 

 en 1862, enfin par MM. Thomson et Tait en 1867, ont été aussi confirmés 

 par des expériences de Dulau, Savart, Wertheim. 



» Si on les applique pour une torsion 6 par unité de longueur d'un 

 cylindre ayant pour section une ellipse dont les diamètres principaux sont 

 2b, 2C, on a pour le moment de torsion M^., G représentant le coefficient 

 d'élasticité de glissement supposé le même dans tous les sens transversaux, 



(.) M.=G^«. 



» D'où, si l'on appelle c = rric la superficie de la section, et 



l,=.\{nbc^ + T:b^c) 

 son moment d'inertie polaire pris autour du centre de gravité, 



» Cette formule, où le coefficient numérique que nous appelons x est le 

 même quel que soit le rapport b : c des dimensions principales de l'ellipse, 

 montre que le moment de torsion, loin d'être proportionnel au moment 

 polaire lo de la section (comme le veut une théorie trompeuse, encore 

 enseignée, basée sur la fausse supposition que les sections restent planes), 

 est, pour même superficie de section, en raison inverse de ce moment d' inertie . 



» En y réfléchissant, on comprend qu'il en doit être généralement ainsi, 

 car les sections allongées qui, à égale surface, ont le plus grand moment 

 d'inertie polaire sont aussi celles auxquelles la torsion fait prendre le plus 

 de cette incurvation, de ce gauchissement, qui diminue l'inclinaison prise 

 par les fibres sur les normales à leurs éléments, surtout aux points les plus 

 éloignés du centre, et, par conséquent, sont celles sur lesquelles les réac- 

 tions élastiques développées ont le moment total M.^. le plus petit. 



