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mes formules publiées en 1875 dans le recueil de la Société des Sciences 

 de Christiania, et reproduites en 1876 dans le Bepertorium der Malliemaiik 

 von Kônigsberger et Zeuner, p. 268-27G. Voir aussi un premier article dans 

 les Gôttincjer Naclirichien pour la même année, p. 245-288, où ces mêmes 

 formules, quoiquesousuneforme moins développée, ont élédéduites comme 

 des conséquences de la solution approximative, mais d'ailleurs complète- 

 ment rationnelle, d'un problème d'Hydrodynamique. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un développement en série. 

 Note de M. E. Picard. 



(i Considérons les équations 



» En donnant à X une valeur constante et faisant varier Q, on obtiendra 

 une courbe. Nous supposerons que la courbe ainsi obtenue est fermée et 

 que le paramètre Q est un angle qu'il suffira de faire varier de zéro à 27: 

 pour obtenir tous les points de la courbe. De plus, les courbes X = const. 



et Ô = const. sont orthogonales, et le quotient y^:''-^ est simplement une 



fonction de X, que nous désignerons par F(X), c'est-à-dire que les courbes 

 X = const. et = const. forment un système orthogonal et isotherme. 



» Admettons qu'en faisant varier le paramètre X de X, à Xo on obtienne 

 une série de courbes fermées ne se coupant pas, et que F(X) n'ait aucun 

 point singulier dans l'intervalle compris entre X, et X^. 



' » Soit une fonction ip(z) de la variable imaginaire z, uniforme et con- 

 tinue dans l'intervalle compris entre les deux courbes correspondant aux 

 valeurs X, et Xo du pa'-amètre X. Posons 



Les valeurs de U et de V sur une courbe correspondant à la valeur X seront 

 des fonctions de l'angle $, et l'on peut écrire 



n = w 



U(,a',^r)= / (rt„cosnô -f rt^ sin«6), 



71= M 



V(x, J-) — \ [b„ cosnS -i- //„ sinwô). 



Un-, «'„ , h„ et //„ étant des fonctions deX. 



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