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 » Les relations exislant entre U et V nous doniieiit de suite 



équations qui donnent les valeurs de <?„, ^„, r/'„ et b'„. 

 » Il vient alors 



n — ic 



U(.r, j) :^ y (f_, COS72ÔH- c'_„ sw?iô)R{l)-" + {c„cos?iô + c\su)ne)R{X)", 



n=o 



V(x, J-) =z \ (cl„ cos«ô ~ c_„ sin«Ô)R(X)-" 4- (- c'„cos«6 + c„ sin72Ô)R(X)", 



en posant RiX) = e'''' ; c^^, t',,, c_.;; et c^„ sont des constantes. 



» Nous ajouterons l'hypothèse suivante à celles qui ont été faites plus 

 haut : la fonction R(X) varie toujours dans le même sens quand X va de 

 X, à X,. 



« On a enfin, pour ç(s), 



9(2)=^ y A„(cos7^5^-^sin/^5)R(X)"+ A.„(cosn5 - /sin«5)R(X)-", 



A„ et A_„ étant des constantes. 



» La fonction R(X)(cos5 + isinô) est une fonction uniforme et con- 

 tinue de s dans l'intervalle consi;!éré; nous voyons donc que toute fonc- 

 tion de z uniforme et continue dans cet intervalle est développable en une 

 série procédant suivant les puissances de R(X)(cos6 + isinô). 



» L'analyse précédente n'est qu'une généralisation foi t siaiple de celle 

 qui a été employée par M. Bonnet, dans son Mémoire sur la théorie géné- 

 rale des séries, pour démontrer les théorèmes de Cauchy et de Laurent. 



» Appliquons les considérations précédentes au cas où les courbes sont 

 un système d'ellipses homofocales. Nous prendrons alors les équations 



,x: = Xcosi3, j = \/X- — c-sin$. 

 Pour toute fonction 9(2) uniforme et continue entre deux de ces ellipses, 



nous aurons 



( ' ) I ■^ 



( +A_,,(cos«5 — isin7iÔ)(X+v/X' — c')"". 



