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données, en supposant que les différences entre les degrés de deux restes 

 consécutifs soient des nombres entiers quelconques. Les coefficients d'un 

 reste R,- de degré i sont, après suppression d'un facteur commun ).,• dont 

 l'expression est calculée, des déterminants exprimés en fonction des coef- 

 ficients des équations proposées. La base de ces calculs est une formule 

 de décomposition des déterminants, qui se déduit de l'identité générale 

 suivante : 



Soient A — Izlz «,,, r/o n . . . n,„^,„ et ii ~ I ±: h,f b.... . , . b„^,„ m > ?i deux 

 déterminants; si l'on désigne par B;,._j le résultat de la substitution des 

 71 premiers éléments de la A'™"^ ligne de A à la place de la s'^'"^ ligne 

 de B, par «,,. les mineurs de A par ra|iport aux éléments de la z'^"" colonne 

 et par p^^ ,. le mineur de B par rapport au r'''"'" élément de la /i'*™'= ligne, ou 

 a identiquement 



en considérant |3;, ^ comme nul quand /• est plus grand que n. 



Dans le second paragraphe de son Mémoire, M. Simonnel fait une 

 application de sa formule à la transformation des conditions connues et 

 montre leur équivalence avec de nouvelles conditions, exprimées en éga- 

 lant à zéro les coefficients de la plus haute puissance de chacun des restes 

 qui suivent le plus grand commun diviseur. Enfin, dans la dernière partie, 

 il calcule de nouveau l'expression des facteurs communs X,- au moyen de 

 la relation 



qui existe entre les facteurs communs relatifs à deux restes consécutifs, et 

 en déduit l'expression exacte d'un reste quelconque en fonction des coef- 

 ficients des équations proposés, déjà calculée directement. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques invaiimits des équations 

 différenlielles linéaires. Note de M. LAGUEnRE. 



« 1. Soit une équation différentielle linéaire du «'™^ ordre 



, dy ^ cl"-' y nin— i ) _ d"-'j ^, dy , 



dx" dx"-' 1.2 dx"-- d.v ' ' 



la lettre A représente ici l'unité et n'est introduite que pour mettre mieux 



