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en évidence les rapporis qui existent entre les invariants de l'équation dif- 

 férentielle et les covariants delà forme algébrique correspondante 



Y =. AX" H^ «BX"-' a + "i-":^'^ Cl"~-u.- + . . . + «KXa"-' + La". 

 '1.2 ' ' ' 



Comme j'emploierai parfois la notation de Lagrange pour désigner les dé- 

 rivées d'une fonction, les diverses quantités A', A", A'", ..., quand je croirai 

 devoir les introduire, devront être regardées comme identiquement nulles. 



» 2. Les équations différentielles linéaires peuvent être transformées de 

 deux façons différentes, en posant d'abord x =J{z), ce qui change la 

 variable, puis en posant j^ — y {z)u, ce qui change la fonction inconnue. 



» Certaines fonctions des coefficients d'une équation différentielle ne 

 constituent des invariants de cette équation que relativement à l'un de ces 

 modes de transformation. On peut, pour éviter toute confusion, les désigner 

 sous le nom de semi-invariants; dans cette Note, je m'occuperai spéciale- 

 ment des semi-invariants qui sont relatifs aux changements de fonction. 



» 3. On sait que l'on peut toujours, en posant/ =: zu, faire dis|iaraître 

 le second terme d'une équation différentielle linéaire, s désignant l'inva- 



riant de M. Liouville e J a'""- cette transformation ne peut évidemment 

 se faire que d'une seule façon. 



» Il en résulte que, si l'on désigne par 



1- -■ H - — 



dx" 1.2 dx"-' 



n{ n-i]{n--?. ) d"-^a n{n - i]{n -2){ n - 3) d"->„ ^ _ 



"* 1.2.3 ' d.v"-''^ 1.2.3.4 dx"-'"' •■ " 



l'équation transformée, les fonctions H, 0, Z, ... sont des semi-invariants 

 de l'équation différentielle donnée. Ces semi-invariants présentent d'ailleuis 

 la plus grande analogie avec les covariants associés à Informe Y ('). 

 " 4. En effectuant les calculs, on trouve aisément 



H = AC-B=-(AB'- BA'), 



= A=D - 3 ABC + 2B' - (AB" - BA"), .... 



(') Hermite, Second Mémoire sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées 

 [Journal de Crelle, t. ,02, p. 25). 



