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» Le semi-invariant H esl corrélatif du hessien de la forme Y; il jouit 

 des propriétés suivantes : 



» 1° Il reste invariable quand on change la fonction inconnue. 



» 1° Il conserve également la même valeur quand on considère l'équa- 

 tion adjointe de Lagrange. 



» 3° Si l'on effectue la transformation la plus générale, en posant 

 d'abord x —- j\z), puis j^ — Y{z)u, en désignant par Hj le semi-invariant 

 relatif à la transformée, on a 



» 5. Si l'on veut obtenir une transformée pour laquelle Ho soit nul, on 

 doit intégrer l'équation 



qui, en posant 



dz I 



f/-C (iJ- 



se réduit à une équation linéaire du second ordre. Cette équation étant 

 intégrée et la substitution jc = f[z) ayant été déterminée de telle sorte 

 que H soit nul, faisons un changement de fonction de telle sorte que le 

 second terme de l'équation disparaisse; l'invariant H demeurera nul, et sa 

 valeur montre que, B étant nul, C l'est également. Ou obtient donc une 

 transformée dans laquelle le deuxième terme disparaît ainsi que le troi- 

 sième, et il suffit, pour opérer cette réduction, d'intégrer d'abord une 

 équation linéaire du second ordre, puis d'effectuer une quadrature. 



» 6. Comme application de ce qui précède, considérons l'équation 

 linéaire du troisième ordre. En appelant I l'invariant de cette équation, 

 dont j'ai donné la valeur dans ma précédente Communication, on a 



I :==0 _|H'. 



); Quand I = o, on voit que, si H est nul, il en est de même de 0; donc 

 les équations linéaires du troisième ordre, pour lesquelles l'invariant I est 

 nul, sont réductibles à l'équation type 



, . d^u. 



