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clans laquelle Yj,"', YJ,""'', .. , Y„" ■*> représentent, pour a? = o, les dérivées 

 d'ordre 7i, n — i, ..., n — k de la fonction Y, où F(7^) est une fonction 

 quelconque de /«, et où les coefficients A, ainsi que l'eulier /i, sont indé- 

 pendants de n, c'est-à-dire constants. 



)) Évidemment une pareille équation différentielle n'est point une équa- 

 tion quelconque; mais, si on la regarde comme un type, toutes celles qui 

 se rapportent à ce type constituent, dans la grande classe des équations 

 différentielles linéaires, un genre intéressant et vaste, lequel contient une 

 infinité d'espèces, caractérisées chacune par une forme particulière de la 

 fonction F(7i). Pour donner une idée de l'étendue de ces espèces, il suffira 

 de faire remarquer que c'est dans l'une d'elles que rentrent, poiw n'y former 

 qu'une simple variété, toutes les équations différentielles linéaires à coelfi- 

 cients constants. 



» Pour toutes les équations différentielles de ce genre, l'intégration, 

 sous forme finie, se ramène à la sommation des séries entières dont le 

 terme général V„ est défini par l'égalilé 



V — '-_ t" 



^"'~ «!F(«) ' 



F(«) ayant la même signification que précédemment, et v,, étant le terme 

 général d'une série récurrente proprement dite quelconque. Dès que l'on 

 sait sommer l'espèce de ces séries qui répond à une certaine forme de F(«), 

 on sait intégrer, sous forme finie, l'espèce d'équations différentielles qui 

 répond à la même forme de cette même fonction. 



Il Partant des séiies de ce genre que l'on sait actuellement sommer, je 

 suis parvenu à intégrer, sous forme finie, trois espèces d'équations diffé- 

 rentielles linéaires appartenant au genre considéré. Ce sont les trois espèces 

 caractérisées respectivement par les trois égalités 



Fin] 



\ 1 



^ ' n\f[n) 



dans lesquelles t est un entier supérieur à zéro, s un entier positif, nul ou 

 négatif, et J\n) un polynôme quelconque entier par rapport à n et par 



3i.. 



