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 variables qui jouissent de propriétés curieuses. C'est ce que je vais suc- 

 cinctement exposer. 



» Considérons la fonction H(z) de Jacobi. Écrivons, pour abréger, H^ 

 au lieu de }l[az), et rappelons ce cas particulier d'une formule bien 

 connue : 



( I ) H«_i H„.4 H^_rf B^^d -+- ^b-c Hi+c H«_rf B„^,i -+- H^_„ H, ._„ H^ .,, Hj+,, = o. 



1) Le premier membre de cette équation est doublement bomogène : il 

 est homogène et du quatrième degré par rapport à la lettre H ; il est homo- 

 gène et du poids 2(a- + Z^- -h c' + (Y-), si l'on envisage H^ comme du 

 poids a-. Formons la fonction doublement périodique 



(2) ^„^H(,«z)H(z) ■ H(2Z.) ■• , 



qui est de degré et de poids zéro. Il est manifeste que l'équation (i) a éga- 

 lement lieu si l'on y remplace la lettre H par la lettre g de même indice. 

 La quantité go est nulle, g, et g^ sont égales à l'unité. J'introduis spéciale- 

 ment gj et gi,, et, pour éviter les exposants fractionnaires, je prends le cube 

 de gj. Je pose donc 





» Je dis maintenant que In qunnthé g„j est un polynôme entier en oc, y quand 

 m est un entier non divisible par 3; quand m est un multiple de 3, g,^ est le 



produit d'un tel polynôme par x^. Ces polynômes ont pour coeffuients des 

 nombres entiers et ne contiennent pas explicitement le module. 



» Effectivement, on a comme cas particuliers de (t) les deux formules 



/ /] \ o — o- ^ or ^ O- a ■' (r , ^ri o- ( tr „ o - — . fr , o - \ 



qui permetlent de calculer successivement g,, gg, . . ., sous forme de poly- 

 - 

 nômes entiers en .r^ et y, mais, si m n'est pas divisible par 3, g,„ est une 



fonction uniforme de z et ne peut contenir que des puis'sances entières de 



gl ou jc; et, si /«est divisible par 3, il en est de même de g,„x ^ . Laissant de 

 coté les fonctions elliptiques, on peut donc énoncer la proposition sui- 

 vante, concernant des polynômes entiers, et dont la seconde partie s'aper- 

 cevra aisément : 



» Si, au moyen des formules récurrentes (4) e< des valeurs initiales g, — i, 



