( /i'6 ) 



§2 = 'i gî — ^^> g; =" }'> on calcule une série de polynômes g,„, entiers 



sauf le facteur jc^ qui s'y trouve quand m est un multiple de 3, ces polynômes 

 vérifient toujours la relation (i). Si n est un diviseur de m, g„ divise exacte- 

 ment g,„. 



» Voici les premiers de ces polynômes : 



gi = J - -^S à'e = ^'-^ ( r - .r - }■») , g, = ( r - x) ce - y\ 



go^jiil - -•^- ) {■^■^•- i) ~ -^.r' ], ■ • • • 



A ces polynômes se rattache une équation diftérentielle jouissant d'une 

 propriété singulière. Pour l'obtenir, faisons usage de la formule suivante, 



où Z{s) désigne la dérivée logarithmique de H(2) : 



(.T /.(a) -^7Ab) -\- Me) — Lia ^- b-\-c) — H'(o ,, . . ,,..,/, . ^. \ , 



qui a été donnée sous une forme un peu différente par M, Ilermite [Comptes 

 rendus, t. LXXXV, p. 73i), et que l'on peut tirer de la formule (i). 11 suffit, 

 à cet effet, de différentier dans (i) par rapport à z, de faire ensuite cl ^= a 

 et de changer convenablement les lettres. Dans (5), remplaçons a, b, c 

 par az, bz^ cz, et introduisons au second membre les fonctions g. J'ob- 

 tiens ainsi 



i 

 (6) Ziaz) + Zibz) + 7Jcz) - 7.{a + b \- c)z = I-I'(o) \^^^ ' . g^^ig^^cg.^. , 



» Définissons maintenant une nouvelle fonction (p{in) par l'égalité 



On conclut aisément de (6) que, pour toute valeur entière de m, 'f{i>i) est 

 une fonction rationnelle de x, y. On a notamment 



1 {■X\ ' (r\ I 3.r-i-.r(r-l- i) 



» Dérivons maintenant par rapport à l'argument dans les équations (3) 

 et divisons membre à membre ; nous obtenons ainsi 



■r^)- _ 4Z(4a) +4Z(z)-l0Z(9-z ) _ l6y(4 ) — 20y (2)_ 

 yic^ 9Z(3z1 -f-5Z(3) — i6Z!2c' ~ 37 f (3) — Sa <p(2)" 



