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 ordonné suivant les puissances ascendantes de a, on peut écrire 



Y„ - M-, M"",' + ^y {^.o.5....m-^)^ ^ __ T( , _ ,= y 



m = l 



X = ]\r"7"'' M'V"", cosmfi^ — îit'). 



» Or, on trouve immédiatement que Tun des facteurs (i — [x^)' M" 7„7li 



ou (i — fjt,'-)' M'"'.~,'"|i du terme général de cette fonction satisfait à l'équa- 

 tion différentielle linéaire et du second ordre 



(,a=-.rr"-2a(-..= -i)/-r«(n4- !)(/..= -. )4-m=lj = o, 



dont l'intégrale générale est 



'w7::iX{'-i-n-" 



(r) v = A(i-a=)^M-^ + B(i-p;^)'M^^ 



A et B étant deux constantes arbitraires. 



M En ayant encore égard à l'équation différentielle 



( I — p.- )_?■"— 2 ( //j + I ) [J./'-i- ( Il — m ){7i 4- m -+- 1 ) ;" = o, 



à laquelle satisfait le polynôme M'"7mlii on démontre facilement que l'in- 



tégrale(i) est une fonction uniforme tant que la variable indépendante p, 

 reste comprise dans l'intérieur d'un cercle de rayon égal à l'unité. Le troi- 

 sième facteur cos7«(zrr — cr') satisfait aussi, comme on le sait, à une équa- 

 tion aux différentielles ordinaires du second ordre. 



)) C'est en dégageant ces équations aux différentielles ordinaires de 

 l'équation générale aux différences partielles du second ordre de la Théorie 

 analytique de la chaleur, au moyen d'un heureux choix de variables et de la 

 belle méthode d'intégration dont l'Analyse lui est redevable, que Lamé est 

 arrivé à intégrer cette équation, dans les cas de la sphère et des divers 

 ellipsoïdes. 



» Sous cette forme, on voit, ce que l'on apercevait déjà du reste, que 

 les différents termes dont la fonction Y„ est la somme, égales à zéro, 

 donnent des équations qui se décomposent: i°en équations algébriques 

 ayant toutes leurs racines réelles et égales à l'unité en valeur absolue; 

 2° en équations également algébriques ayant toutes leurs racines réelles, 



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