( 56o ) 

 inégales et comprises entre — i et 4-i; 3° enfin, en équations Iransctn- 

 danles ayant un nombre infini de racines. Celle mémo forme des fonc- 

 tions Y„ nous montre encore très-clairement que l'on a 



fil Y„Y,,W)ji,r/'/jL'(/z? = o, 



pour V différent de n. Cela se conclut au moyen de l'inléj^ration par par- 

 lies, sur chaque terme du produit Y„Yv pris séparément. Pour v — n, on 

 trouve aiiément, en se servant de ce ihéorème et de la relation suivante : 



n Y„— (27i— 1 )[ w.,a'-f- s/i — [J.- v' i — [J-'' cos ( v> — 77'j] Y,,., -h {it — 1) Y„_2 = o, 

 entre trois fonctions consécutives 



, 2 r ,-> H- 1 ,, + 1 



M II. Cela étant, considérons la série double 



„ = .i = n / V;"[i>.]Pf^,y.']c!,j.' F(^!>',y.')cos/(4.-f )rt'f 



FW.P.)=H^ --^^ . 



n = / = 



où l'on a nécessairement «^/(Lamé, Leçons sur les fondions inverses, etc., 

 p. 240, et mettons à la place de Py et p'"' les valeurs, à savoir : 



et 



,„l 2/-4-i ll-\-l.n-\-t \.ll-\-t — 2...2/-I-I 2.4.6. ..2/ ,j. 



Pi — 2 



iit-\- i I.2.3.4..." — i 3.5.7...2/-I-1 



et enfin r: à la place de W/; le terme général de celte série s'écrit, après 

 quelques réductions faciles, 



4ïr « + /.« + /— I ...« — / + I J_j ' ^^' ' w ; 1 



x/' F(f, ,a')cos/(<i- fjf/f. 

 En exécutant l'opération indiquée par le signe sommatoire \ , et se rap- 



(') Voir mon Slcinoire sur ces fonctions, ^Journal de Maihématlqucs, 3" série, t. V, 

 p. 60. 



