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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration d\me équation différentielle. 

 Note de M. Halphen, présentée par M. Hermite. 



« Dans une Communication récente (p. 4' 5 de ce volume), j'ai obtenu 

 l'équation différentielle 



, V f/y 3r(/ -i-i] — 4^^ 



(0 7rr = — w^, — ' 



qui se transforme en elle-même par une infinité de substitutions ration- 

 nelles. C'est l'étude de la fonction doublement périodique g,„ 



(a) g^ = B{mz)U{z) ^ B{2Z) ' 



qui 'conduit à l'équation (i). Cette équation s'intègre, en effet, par les 

 formules 



où z est une variable auxiliaire; le module est la constante d'intégration. 

 Je me propose d'intégrer algébriquement cette même équation, en éli- 

 minant z. Pour y parvenir, j'indique quelques nouvelles propriétés des 

 fonctions g„. 



» On peut, sans changer g„„ mettre dans (2), au lieu de la fonction H, 

 la fonction Al, de M. Weierstrass, puis écrire 



b"i 



M"''-(z)lAl[z)] |_Al,(2z) I 



Faisons maintenant usage des équations connues 



A.(-^')-^.! =SnzF„(Sn^::), -^^i— -' = SnsCnzdnz (l>„(Sn-z), 



dans lesquelles F„ et <I>„ sont des polynômes entiers, dont les premiers sont 



F, = I, 0, = 2, Il vient 



(4) F„ = g,„^, (aCnzdnz.)'"^' <I>„ = 2g,„(2Cnzdnz/ ' ' 



et l'on voit que le calcul des polynômes g,„ peut servir à celui des poly- 

 nômes F„ et 0„, si importants po>ir la multiplication des fonctions ellip- 

 tiques. Sans m'arrèter à ce point, je prends les expressions de Fj et $3? ^t 



