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 posant Sn-s = m, j'obtiens comme cas particulier de (4) ces expressions 

 de x,j' 



(5) 





D Voici donc l'équation (i) intégrée sous une nouvelle forme : u est une 

 variable auxiliaire, A" la constante d'intégration. L'intégrale générale est 

 algébrique et résulte de l'élimination de u entre les équations (5). Au 

 moyen de quelques artifices on peut effectuer cette élimination. A cause 

 de la forme de l'équation (i), l'équation finale seray(.r, ^') =^ 'fl^')» '^s 

 fonctions^et (^ étant rationnelles et à coefficients purement numériques. 

 Deux intégrales particulières suffiront donc à déterminer^. L'intégrale 

 générale est du douzième degré; mais deux cas d'abaissement s'offrent 

 immédiatement. Le premier a lieu pour X = o. D'après les formules (5), on 

 voit qu'alors l'équation se réduit au quatrième degré. Une élimination très- 

 simple conduit à cette intégrale particulière 



(6) F = (32x + 8j=-20j- i)-+ (8/- i)' = o. 



C'esl la relation qui lie x et y quand on remplace la fonction H par la fonction 

 sinus. En outre, si l'on fait varier k d'une manière continue jusqu'à zéro, 

 on reconnaît que le premier membre de l'équation résultant de (5) se ré- 

 duit à o:^ P, pour /t=: o. 



» Le second cas d'abaissement a lieu pour ^ =; y/— i. Les expressions (5) 

 ne contiennent plus que des puissances paires de m ; le premier membre de 

 l'équation finale se réduit au carré d'un polynôme R du sixième degré, et 

 l'on a celte intégrale particulière 



(y) R == Ç)[\x^+ ili[-2j-~ 12J -j- 5)x- + 6{j -^ lY {j — ■2)x + (j- 4-1)" = o. 



C'est la relation qui lie x et j' quand le module est yj — i. Mais il existe nu 

 troisième cas d'abaissement plus intéressant, dont l'existence tient à une 

 propriété spéciale des fonctions g^,„. Si l'on met en évidence l'argument et 

 le module, on a identiquement 



§'„(z, k) = g^[kz,j^ =g^{iz,k'}, 



comme cela résulte des propriétés de la fonction Al,. Eu conséquence, 

 ainsi qu'on peut d'ailleurs le reconnaître dans (5), x et j- restent inaltérés 



