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 si, au couple A', u, on substitue l'un des suivants : 



('>■■"). (r.-^"')' (■-**. ,r-^)- [^.•^^} 



/i-(/ \ r /.' (/'— 1)«' 



' 7, : ' 71 : ' 



x=« — ir /^— I ^'« - I 



» Si donc k- est une des racines de w- — u + i = o, trois valeurs diffé- 

 rentes de M font acquérir à a: et à ;■ un même système de valeurs. Par suite, 

 jr, j sont des fonctions entières de la quantité v suivante : 





&)« I — u] 



H en résulte que le premier membre de l'équation finale se réduit au cube 

 d'un polynôme Q du quatrième degré. Effectivement on a, pour ce cas, 



JC=. - !,.((. _8u-+- 4)', Jr=^[(p+2W~4)='+4], 



(8) Q = i6a;= + 8.r(j4- i)(;-- a) + (jr + i)* = o. 



C'est la relation qui lie x e.tj quand le module vérifie la relation k* — A- + i — o. 

 Si l'on substitue dans Q, à x et j, les expressions (5), le facteur (A-* — F-l-i) 

 apparaîtra dans le résultat. Nous allons avoir besoin de connaiire l'expo- 

 sant de ce facteur. Le moyen le plus rapide est de développer x, j, et en- 

 suite Q, suivant les puissances croissantes de u. Il vient ainsi 



^x = i _^(^-'_F+ y)u- + ..., a»7=i -(A'~AM- !)«' + • --i 



Donc Q contient simplement le facteur (A:* -- k- -r- i). Achevous maintenant 

 l'intégration. D'après les intégrales particulières (7) et (8), on obtient une 

 forme de l'intégrale générale en égalant le quotient R^:Q' à luie fonction 

 rationnelle de k-. Mais, en vertu de la propriété reconnue précédemment, 

 cette fonction rationnelle de /v^ se réduira à une fonction rationnelle de la 

 quantité h suivante : 



h=^ 



{ A' -/i'+l 



Puisque Q contient simplement le facteur (A' — k^ -h i), la fonction sera 

 linéaire en h; et, comme R = o correspond au cas de A:' + i = o, cette 

 fonction §era simplement cli. Enfin, pour k — o, ï\^ — chQ^ doit se réduire 



