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 Second système. 



X — {qx^ -\- rx- y -\- s xy- -^ t j^ f — l\[ux- -i- i' xj + w j-) c Z' -\- Set', 

 p.=z(^fix + kj)cz— e(ryx''-!- i'X-j-\- sxy---\-tj^^, 



Y=c(X + 4p.Jz), 



Z = c[eX-+ aXjU. (^a:'+ /'x"^-}- jjt)---,- i;-')-f-i6t'p.-s']. 



» Dans les formules précédentes, on doit donner à a", j, z des valeurs 

 positives et négatives ; mais on voit aisément qu'en faisant toutes les combi- 

 naisons de signes possibles on déduit, en général, quatre solutions nou- 

 velles de chacun des deux systèmes. Cependant, si l'équation (i) se rédui- 

 sait à la forme a^'' + b\^ = c7J, le nombre des solutions données par 

 chaque système ne serait plus que de deux, parce que, dans ce cas, lorsque 



l'on change j- et z en —y et — z^ le rapport — prend des valeurs égales et 



de signes contraires dans le piemier système, et des valeurs égales dans le 

 second. On peut alors, dans les formules, ne donner à x, j-, z que des 

 valeurs positives, pourvu que l'on mette le double signe devant les termes 

 qui contiennent :; à des puissances inipaires. 



•0 On passe maintenant au cas général comme il suit. 



» (xo,j-„, Zo) désignant une première solution de l'équation (i), on 

 écrit cette équation sous la forme 



X\'' . , ,. /Y 



-^^-œ'- — =©■ 



» On voit alors que, si l'on considère ax^, byl, . . . comme les coeffi- 



X Y Z 

 cients et —, —■> - comme les inconnues, on rentre dans un cas particulier 



du précédent, celui où l'on a i = e = c, et que, par suite, on obtient les 

 formules qui conviennent à l'équation (i), sous sa forme la plus générale, 

 en remplaçant, dans les deux systèmes donnés plus haut, X, Y, Z, x, 7-, 



z,a,b, .., respectivement, par -, —5 -» —, —, -, ax\ bj\ .... 



» L'artifice qui vient d'être employé en dernier lieu avait déjà été mis 

 en usage par M. Lucas dans le cas particulier de l'équation nX* + Z»Y^=: cZ- 

 [Nouvelles Aunales, p. 69; iS'yg). » 



