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 exécuté dans (i), on peut aussi faire disparaître les ^ au moyen des relations 

 analogues à (i) satisfaites par les «. Ceci fnit, il ne reste plus dans la trans- 

 formée que six termes tels que k„yj.„rj.p - — ^, et l'on trouve 



■"«.p — 



«V=[iz(«2)-iZ(/.z)JV(«=-/r)[z'(«2)-Z'(p2)]. 

 » Si maintenant on fait usage des deux formules 



r + é+c)' 



Z'(n)-Z'(/;) = II'=(o)"^"-^*'"'"-*' 



H=(a)H2(é} 



on reconnaît que, le facteur H'-(o) disparaissant, les six coefficients A„,p 

 deviennent des fonctions rationnelles des «, du degré — 2 et du poids zéro. 

 La transformation demandée s'opère donc par ce moyen, et voici les for- 

 mules 



9(1) = o, 



L'équalion [A] (jue je voulais obtenir est y A;,^pa„ap- — y-=o, les coefft- 



cienls étant donnés pur les formules {2). La circonstance bien remarquable 

 qu'on y rencontre consiste dans la disparition du nombre m, et l'on en 

 lire cette conséquence : Soit<^[z,q) une fonction satisfaisant à 



1)7 ~~ \IK) ^dq' 



et posons, pour jî = 1, 2,3, 4, ««= Xw"^H(«z); r équation (A) admet pour so- 

 lution, quelque soit m, lafonctionp. = 'k(xi"'^^[mz,q). Oua donc des solutions 

 en ajoutant entre elles des fonctions de cette forme ou encore en les inté- 

 grant ou les différentiant par rapport à ni : par exemple, p. = X5H'(o) est 

 une solution. L'équation (A) est satisfaite par|7. = H(/?is), considérée comme 

 fonction des a, du degré i et du poids m^. Or il résulte de la formule de 

 Jacobi, rappelée au début de ma première Note, que, pour m entier, cette 

 fonction est rationnelle. Donc, outre les solutions évidentes p. ^y(a„), 

 l'équation (A) admet une infinité de solutions rationnelles. 



