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 lume ayant x, , j-, , z, pour coordonnées, p une fonction finie et continue de 

 X,, 7i, z,, nulle en dehors d'une région limitée, enfin cp une fonction de 

 ^'i — X, Ji — j", z, — z, pouvant devenir infinie ;iu point x, ^= x, j, = J". 

 z, — z, mais telle pourtant que la somme /, étendue à tous les éléments dzô 

 de l'espace, soit finie. J'ai montré que l'on diflérentie aisément cette intégrale 

 par rapport à x, à j'ou à z, en y restreignant la somme f aux éléments 

 Ws; extérieurs à la sphère décrite, d'un très-petit rayon constant R, autour 

 du point mobile {3C,j, z) comme centre. Si la fonction 9 était susceptil)le 

 de devenir infinie sur toute la droite œ, = x,j^, = JT» parallèle aux z, on 

 n'étendrait de même le signe /qu'aux éléments r/zû situés en dehors du 

 cylindre de rayon R ayant cette droite pour axe. La différentiation par 

 rapport à s se ferait simplement sous le signe/; mais la différentiation en 

 a: ou en j introduirait de plus un terme aux limites, provenant des élé- 

 ments ^ar, les uns perdus, les autres gagnés par le cylindre dans sa petite 

 translation (^x ou dy. On trouverait, par exemple, 



;l-fp9dr, = fp''£dr. 



)dz 



P n 



■'n','n,Zi 



z)]dri. 



D'ailleurs, comme il est dit à la fin de la même Note, les dérivées en x, 

 j-, z de /piprfe s'obtiendraient aussi par la différentiation de p en x,,j, 

 ou z, sous le signe /. 



» Appliquons celte méthode à la fonction, que j'appellerai potentiel 

 lylindrique ou logarithmique à trois variables, 



où 



t\) —fp log(- - Si -t- r)dzs, 



Cette fonction, dont la dérivée en z est le potentiel ordinaire ou inverse, 

 présente un grand intérêt dans la théorie de l'élasticité; car j'ai reconnu 

 [Comptes rendus, t. LXXXVI, p. laGo; 20 mai 1878) qu'elle conduit, pour 

 tout espace où p est nul et où z est > ",, à trois formes d'expressions pos- 

 sibles des déplacements d'équilibre u, v, w d'un solide homogène et iso- 

 trope sans pesanteur. Ces trois formes, un peu généralisées en observant, 

 dans la première, que (z — =1 ) ^ log(2 — =< + = ^ ^^ *^" appelant V le 



