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 potentiel direct fprdr:;, sont respectivement 



i3 «■- — . — -r-r^ i' = — . — -T-^' u'= — - —- l-Aa^; 



^ ' A + 2p dx(/z A -f- aji (iydz k+ly. dz' ' 



«'■i rf-i d-h d-h di, 



(4) n—-f-, V——-: "' = -^; et /f = — -f . i'=7^5 



IV 



>' Il y a lieu de se demander si ces mêmes expressions de h, v, w représen- 

 teraient aussi des déplacements possibles en des endroits où js ne s'annule 

 pas. Et d'abord, l'intégrale ■i^ reste finie et continue pour s<S|, quoique 

 log(z — 0, + r) devienne alors infini sur la droite x^ = x^j\ — y. En effet, 

 supposons que cette somme i|/ n'ait été d'abord étendue qu'aux éléments 

 «fsr extérieurs au cylindre [jc, — jc)' 4- {y, — j)' = R' ; en faisant ensuite 

 décroître R jusqu'à £, elle augmentera peu à peu, et, en tout, de 



27r / p[x,j', :,)(iz, I Rlog(2 — z, -+- r)dR, expression de valeur insen- 



sible, et qui le serait même sans la présence du facteur R sous le signe /; 

 car, s — z, 4- r y vaut le quotient de R- par z, — z + r, en sorte que les 

 plus grandes valeurs absolues de log(:;: — z, -+- r), correspondant k z,^ z, 

 n'y sont que de l'ordre de grandeur de logR et ont leur produit par r/R 

 comparable seulement à rt'(RlogR). En posant, dans (i), 9 = log(:; — z, + /), 

 on reconnaît qu'une première différenliation de i{^ peut s'effectuer simple- 

 ment sous le signe /, vu que le dernier terme de (i) est alors la différence 



de deux expressions négligeables. Si l'on prend ensuite «p = ,.,- _'- ^ 

 en vue d'avoir '-~i on trouve successivement pour le dernier terme de (i) 



Par suite, il vient, non plus Ao(j^ = o, mais 

 (5) ^2'!=^ 4nj_ pdz. 



» Au moyen de cette relation et de la formule AoAaV^— Stt/j démontrée 

 dans la Note citée du lo février, on reconnaît que les expressions (3) et (4) 

 de u, V, w représentent des déplacements d'équilibre possibles de solides 

 élastiques indéfinis, soumis par unité de volume à certaines actions exté- 



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