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 3° Une Brochure de M. V. Dwelshauvers-Dery, portant pour titre : 

 « Les découvertes récentes concernant la machine à vapeur «. (Extrait de 

 la Revue wiivet selle des Mines.) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la sommation d'une espèce particulière 

 de séries. Note de M. D. André, présentée par M. Hermite. 



« L'objet de la présente Note est de faire connaître la somme de toutes 

 les séries convergentes dont le terme général U„ présente la forme définie 

 par l'égalité 



IT — l'^P-^ i)[i>+l)...[p-^-n- ■) 



^" ~ i.l..2,...n ""^ ' 



dans laquelle je désigne j)ar« un entier quelconque non négatif, par p un 

 nombre quelconque, positif ou négatif, mais non pas entier, et par u„ le 

 terme général d'une série récurrente proprement dite quelconque. 



» Les séries de celte espèce jouissent toutes de cette propriété remar- 

 quable de pouvoir être sommées, sous forme finie, à l'aide de fonctions 

 algébriques rationnelles, et d'expressions irrationnelles de la forme 

 (i — axY. 



» J'ai effectué cette sommation d'une manière générale, par une méthode 

 fort simple, dont l'exposition fait l'objet d'un Mémoire que je viens d'ache- 

 ver, et dont le point de départ consiste dans ce fait bien connu, savoir 

 que, si l'on désigne par a une racine quelconque de l'équation génératrice 

 de la série récurrente dont u^ est le terme général, par ce le degré de mul- 

 tiplicité de cette racine, par Sa{n) un certain polynôme entier en Ji et du 

 degré a — i, on a identiquement, en étendant le 1 ci-dessous à toutes les 

 racines de l'équation génératrice, 



i/n = l'ia{n)a". 



» Le résultat que j'ai obtenu peut se résumer de la manière suivante. 

 » Si l'on considère l'égalité 



Sc(n) = Ao -I- A, « + A'/Zo -}-. . . + Ao,_, 7j*-', 



qui est donnée par hypothèse, que l'on pose 



