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plan, la normale à la courbe C,, cette normale géodésique rencontrera en 

 un point N, l'axe X entraîné par la courbe E, et M,N, sera la longueur de 

 cette normale; de même, la tangente rencontrera le même axe en un 

 point T,, et M|T, sera la longueur de cette tangente. Dans le cas de la 

 courbe C3, le lieu des positions du rayon vecteur sera une surface conique; 

 et si, en un point INI, de la courbe Co correspondant au point M, de la 

 courbe C,, on mène le plan tangent au cône, et, dans ce plan, une normale 

 à la courbe C^, jusqu'à la rencontre en No du plan mené par le sommet du 

 cône perpendiculairement au rayon vecteur, celte normale MoNo sera la 

 normale géodésique polaire de la courbe Co ; de même, la tangente rencon- 

 trera ce plan en un point To et sa longueur sera MoTj. 



» Voici maintenant les relations qui existent entre les tangentes des 

 courbes C,, Co, leurs normales géodésiques et les arcs correspondants : 



» Théorème I. — Les tangentes correspondantes des courbes C,, Cj ont 

 même direction par rapport aux axes mobiles (t, v, p) de la courbe E, 



» Thiïorème II. — Les arcs correspondants des deux mentes courbes sont 

 égaux. 



» Théorème III. — La normale géodésique de la courbe C, et la normale 

 polaire gëodésicpie de la courbe Cj sont égales, et les tangentes de ces deux 

 courbes sont aussi égales. 



» 2. Soient p,„, p.yg les rayons de courbure géodésique des courbes C,, 

 ^i'i Pi«> Pin les rayons de courbure normale des mêmes courbes par rapport 

 au conoïde et au cône, 3b la longueur de la normale géodésique de l'une 

 des deux courbes; on a les relations ^ 



, . ri cns^(a,v] i i cnsf .%, v ) cos(v, n 1 

 I ) 1 = rz 5 1 = rj= ■■ 5 



^ ' p,g p-ig oJb p,,, p2„ <Jb 



desquelles on déduit les propositions suivantes : 



» Théorème IV. — Si, à partir du sommet M, de l'angle de la droite rec- 

 tifiante 7s et de la binonnale v, on compte sur la première une longueur M,T:i, 

 égale à la normale géodésique et une longueurM, P, telle que, enptojetantM, P, 

 sur la binonnale et la projection obtenue sur la droite rectifiante, cette seconde 

 projection soil M.N,, le double de M,P, sera mojcnne liarmonique des rayons 

 de courbure géodésique des courbes C, et C,, 



» Théorème V. — Si, à partir de l'extrémité de la normale géodésique 

 en M|, on élève mr cette normale une perpendiculaire jusqu'à la rencorttre de 

 la binormale v, et de ce point une perpendiculaire à celte binormcde jusqu'à la 



