( «07 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Formation cr une fonction ¥{x) possédant la 

 propriété F [o{x)] = F(.r). Note de M. Appell, présentée par M. Bouquet. 



« Je me propose de généraliser le mode de représentation analytique 

 des fonctions périodiques et de montrer comment on peut former une 

 fonction F [jc] possédant la propriété exprimée par l'équation 



(i) F[9(.x)] = r(x), 



où o[x) désigne une fonction donnée. 



» Soit '^-,{x) la fonction inverse de o{jc), et posons, pour simplifier 

 l'écriture, 



©_„(x) = ?_, I Ç)_, [. . ., Ç)_, (^'j] i' 



les symboles fonctionnels y et 9_, étant employés n fois dans les seconds 

 membres. Considérons en outre une fonction rationnelley(«) d'une va- 

 riable u et formons la série 



(2) F(x)=:^/[y„(x)], 



nz= — w 



/[ç„(x)j étant ce que devienty(?i) quand on y remplace ?i par <p„(x). Si cette 

 série (2) est convergente, elle définit une fonction F(x) qui possède la 

 propriété (i) et par suite aussi la propriété 



(3) F[?_,(x)] = F(.r). 



)) Exemples. — Je vais d'abord appliquer cette méthode à un cas simple, 

 en me proposant de former une fonction F(^) telle queF(x-)=: F(jc), 

 quoique, par un simple changement de variables, on puisse former de pa- 

 reilles fonctions à l'aide des fonctions périodiques. Dans le cas présent, 

 on a 



1 



9 [x) = x% ?_, [^x) = x\ 9„(.r) = x-\ 0-n[x) — JC-~"- 

 Prenons la fonction rationnelley(M) égale à 



La série 



11^ [i — uf. 



Y{x)^=Sx-"*'{i-x-^T- 



