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est convergente pour toute valeur de jc dont le module est plus petit que 

 l'unité, et l'on a 



F(x-) = F(^)==F(\/^). 



» Cette fonction F[x) peut être composée à l'aide des deux fonctions 

 plus simples 



(4) ij/(.r) = X- -I- X* -h ... -H X-" -+-..., 



(5) I, (x) = (.r^ - ') + W- ') + ••• + (•^'" -•) + •••; 



on a, en effet, 



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F(X): 



XI I 



X- 



|(x) - .^(x')4-d>,(x) - 4',(.r'') 



La fonction ^{x) est holomorphe dans l'intérieur du cercle de rayon égal 

 à l'unité. La série (5) est convergente pour toutes les valeurs de la variable; 

 elle définit une fonction '!^,{x) non uniforme, ayant un point critique à 

 l'origine; on peut aussi développer cette fonction en une série procédant 

 suivant les puissances du logarilhtne népérien de x : 



^,{x) = ï.x + - 



[LxY I 



2 ■2' — I 



+ 



(L.r-)« 



I . 2 ... « 2" I 



» Pour donner un second exemple, je suppose (p[x) ^ x^ — i, 

 (p_, (x) == \/'x + I , et je ne considère que des valeurs réelles de la variable, 

 en convenant de prendre la valeur réelle des radicaux cubiques. Soit a la 

 racine positive de l'équalion 



(6) 



rt" 



rt — I r^ o: 



prenons pour la fonction rationnelley(f<) l'expression 

 et formons la série 



;i — —en 



« Celte série est convergente pour toutes les valeurs de la variable, à 

 l'exception de certaines valeurs parliculières qui rendent infini un des 

 termes, comme, par exemple, o, i, La fonction F{x) ainsi définie 



