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 formules simples et symétriques que l'on rencontre dans la théorie de la 

 moyenne arilhmético-géométrique de quatre éléments, on reconnaît que la 

 simplification obtenue est due à un nouveau point de vue relatif au choix 

 des quantités qu'il faut considérer comme modules des intégrales hyper- 

 elliptiques. 



» Dans les intégrales elliptiques, le module peut être défini sous deux 

 formes différentes qui s'accordent pourtant entièrement, l'une algébrique, 

 qui repose sur la considération des valeurs pour lesquelles s'évanouit le 

 radical qui se trouve sous l'intégrale; l'autre transcendante, qui donne la 

 racine carrée du module en forme de quotient de deux fonctions & à argu- 

 ment zéro. 



C'est la première de ces définitions que Richelot a étendue aux intégrales 

 hyperelli|)tiques. Ses modules /., X, p. sont bien les quantités analogues au 

 modide k elliptique sous le point de vue algébrique, mais ils n'en pré- 

 sentent aucune analogie sous le point de vue transcendant. 



» En effet, soient 



et 



les quatre fonctions 3r elliptiques et leurs valeurs correspondantes à l'ar- 

 gument zéro, entre lesquelles on a l'équation 



soient de même 



''3 ''0 ^^'-21 



•-'s» --^12) •'a-lj "'O! I I ^5) ^'|2> ^ 



-5) ''I2> ''34) «-Oï 



•-'^01' "'0 25 '^21 -^l) I ] ^0\1 ^1 ^2-\ O, 



^ / et { 



■-'4> "'0 3> "'3? -^lU) l ï ^' M ''o3) O, O, 



'^235 •^137 -^iU -^iA) ' \ ^2 3' O, O, C,, 



les seize fonctions & hyperelliptiques de M. Weierstrass et leurs valeurs 

 correspondantes aux arguments zéro, entre lesquelles il existe cette condi- 

 tion que les neuf quotients 





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dans lesquelles la fonction sous le radical ne dépasse pas le sixième degré, ce que, dans la 

 suite, je n'aurai pas besoin d'ajouter. 



