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 forment les coetficienls d'une substitution orthogonale au détermi- 

 nant -h I. 



» Cela posé, entre la définition transcendante du module elliptique 



yA 



et la définition transcendante des modules hyperelliptiques de /., )., u de 

 Riclielot 



y. = î A = 5 iJ. = 5 



^oi^'s ^n^ûi ^ii^i 



il n'y a point de ressemblance. 



» Cette considération fait présumer qu'il peut y avoir de l'avantage à aban- 

 donner les modules de Richelol en les remplaçant par d'autres qui forment 

 l'extension du module elliptique sous le point de vue transcendant. 



» Considérons l'intégrale elliptique sous la forme 



/, 



c/f 



qui est la plus propre pour la théorie de la moyenne arithmético-géomé- 

 trique de deux éléments, et dans laquelle le module k' est défini par le 

 quotient 



c'est-à-dire par le quotient des valeurs correspondantes à l'argument zéro 

 du & principal 5^3 et de la fonction 5o qui en dérive par l'addition de la 

 demi-période réelle. Cette définition transcendante du module A' elliptique 

 s'étend aux fonctions hyperellipliques de la manière suivante. Il faut con- 

 sidérer le S principal 575 et les trois 2r qui en dérivent par l'addition d'une 

 demi-période réelle, c'est-à-dire les fonctions S,.,, S,,, S?„ En y posant les 

 arguments égaux à z-^ro et définissant trois modules k,, /j, y.3 par les équa- 

 tions 



/ — ("i: — Cm / — c» 



y X, :^ — 5 \ îCo =^ — ) V '^s ^^ ~ ' 



's " '"s ''s 



on a trois quantités qui forment l'extension exacte du module elliptique A' 

 sous le point de vue transcendant, et ce sont précisément ces modides qui 

 sont les plus propres pour la théorie de la moyenne arilhmético-géomé- 

 trique de quatre éléments. 



