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guliers ; pour toute autre valeur de la variable, cette fonction reste finie et 

 continue, et elle est uniforme dans toute région du plan à contour simple 

 ne contenant aucun de ces trois points. Telle serait, par exemple, une inté- 

 grale d'une équation différentielle linéaire ayant trois points singuliers. Je 

 me propose de montrer dans cette Note comment on peut trouver un déve- 

 loppement delà fonction, valable pour tous les points du plan, quel que 

 soit d'ailleurs le chemin suivi par la variable. 



» Je commence par traiter la question suivante : Soity(z) une fonction 

 de:; n'ayant à l'intérieur d'un cercle C, ayant l'origine pour centre et un 

 rayon r que nous supposerons moindre que l'unité, d'autre point singulier 

 que l'origine ; on peut trouver un développement en série de la fonction 

 valable pour tous les points du cercle, quel que soit le chemin suivi par la 



variable. Faisons, en effet, la transformation i = Au cercle C du plan 



des z correspond dans le plan des y un cercle C passant par l'origine et 

 ayant pour centre le point ^ = -rij'' désignant le logarithme arithmé- 

 tique de r); et si, comme nous le supposons, r est moindre que l'unité, aux 

 points à l'intérieur du cercle C correspondent des points à l'intérieur du 



cercle C. Par la transformation z = e', la fonction y (z) devient une fonc- 

 tion de y, que l'on reconnaît aisément être uniforme et continue à l'intérieur 

 du cercle C. On peut donc la développer suivant les puissances croissantes 



de/ — —5 et, en remplaçant y par p ^5 on a \io\\\-J[z) la forme suivante : 



/w = S-^«(i-^^)" 



où les A„, sont des constantes. Aux déterminations multiples de logz cor- 

 respondent les déterminations multiples de la fonction. 



» Revenons maintenant au problème qui fait l'objet de cette Note. Nous 

 supposerons tout d'abord, ce qui ne restreint en rien la généralité du pro- 

 blème, que les trois points singuliers de la fonction sont les points s = o, 

 2 = 1 et le point à l'infini. C'est dans la théorie des fonctions elliptiques 

 que j'ai trouvé une expression permettant d'effectuer un changement de 

 variable convenant à notre objet. Soient 4 K et a/K' les périodes de la fonc- 

 tion elliptique ; R et R' sont, comme on sait, représentés par des intégrales 

 définies pour des valeurs réelles comprises entre zéro et l'unité de r = A- 

 [k désignant, suivant l'usage, le module) En se servant de l'équation diffé- 



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