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 renlielle linéaire du second ordre à laquelle ils satisfont, on peut (FuCHS, 

 Journal de Borcliardt, t. LXXI ) les définir pour des valeurs complexes quel- 



conques de la variable z. Considérons alors la fonction rj = c '' , qui se 

 trouve ainsi définie pour toute valeur de z. M. Fnchs a étudié cette tran- 

 scendante [Journal de Borcliardt, t. LXXXIII), et il a montré que la fonc- 

 tion z de ly, qui en résidie par l'inversion, est une fonction holomorphe 

 de q dans l'intérieur du cercle C décrit du point q — o comme centre, avec 

 un rayon égal à l'unité. Quand z arrive, après avoir suivi un chemin quel- 

 conque, à l'un des points o, i, so , r/ tend soit vers zéro, soit vers un point 

 de la circonférence C. On peut en outre établir que, pour toute valeur de z 

 distincte deo, i,oo , quel que soit d'ailleiu'S le chemin suivi pour y arriver, 

 a a une valeur différente de zéro et d'un module moindre que un. J'ajoute 

 une remarque importante pour l'objet que nous avons en vue ; si q part 

 d'une valeur qa et revient à ce point après avoir décrit une courbe (située, 

 bien entendu, à l'intérieur du cercle C) ne comprenant pas l'origine à son 

 intérieur, zpart du poVnt correspondant Zf, et revient à ce point aprèsavoir 

 décrit un chemin n'endirassanl aucun des points o et i . 



» Cela posé, soit z = 'j (7) la fonclion résultant de l'inversion. Faisons 

 le changement de variable z — fD[q), la foncliou/(s) deviendra mie fonc- 

 tion F (^), n'ayant dans le cercle C d'autre point singulier que l'origine. Il 

 est facile de démontrer, en effet, en s'appuyant sur la remarque faite pré- 

 cédemment, que la fonction Ff^) est uniforme et continue dans toute 

 région du cercle, à contour simple, ne comprenant pas l'origine. 



» Nous nous trouvons ainsi amené à considérer une fonction F (f/) jouis- 

 sant des mêmes propriétés que la fonction considérée au début. Posons seu- 

 lement q = Iq' , où X désigne un nombre réel positif plus grand que l'unité; 

 nous aurons de cette manière luie fonction Y\}.q') de q n'ayant à l'in- 

 térieur d'un cercle ayant l'origine pour centre et un rayon ^pluspetit que 



un d'autre point singulier que l'origine. Nous pouvons appliqut-r à cette 

 fonction le développement indiqué au début. On aura ainsi 



n = a 



et par suite 



F(7) = ^A.(j^^-i-^)", 

 les A,, étant des constantes. 



