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donc, par cette composition, à une transformation imaginaire et du second 



jj j j' 



ordre qui conduit du module A' au module X — rr L'expression -r 



ayant la propriéié qu'appliquée deux fois de suite elle reconduit au mo- 

 dule k' duquel on était parti, il est évident, sans en faire le calcul, que la 

 transformation qui nous occupe, appliquée deux fois de suite, produit la 

 duplication. 



» Pour parvenir à la transformation hyperelliptique la plus semblable à 

 cette transformation elliptique, posons, avec M. Weierstrass, 



S(ç', (.„ f., , ^„ v„ V,) = ^ e^' — ^■•'— ^='"— ^-"^-H 



/Il Ui 



la sommation s'étendant à toutes les valeurs entières 72,, 7/0 depuis — 00 

 jusqu'à + 00, et g désignant la fonction entière 



g-((^,, Co, «I, Ho) = ni[iny f. H- 2^2 ''a + '^i ff 1 H- 2h,H2T,2-1- ni-:.,.:,). 



» En donnant à chacun des quatre indices p,,, p-o, v,, Vo les valeurs o, i, 



on obtient seize fonctions ^, qui correspondent aux seize combinaisons 



suivantes des quatre indices, 



* 

 o, o, o, o, I, o, o, o, o, I, o, o, I, T, o, o, 



o, o, I, o, I, o, I, o, o, 1, I, o, 1, J, I, o, 



o, o, o, I, I, o, o, I, o, I, o, I, J, I, o, I, 



o, o, I, ], I, o, I, I , o, 1, 1, r, 1,1,1,1, 



fonctions que M. Weierstrass désigne parla notation 



Cv o. Ci (i 



"'51 -"12? ■^S-iï -'01 



"'0(1 '^0 2) -^l^ ■-'1 ' 



S- 3- & & 



""î ) "'03 1 -'35 -'0^1 

 •^2^1 -^13 1 -^2 1» -' U • 



» En conservant la notation primitive à quatre indices, on étend aisément 

 aux seize fonctions S la transformation imaginaire proposée par M. Rosen- 

 hain, dans le théorème III de son Mémoire couronné, pour le ?3 principal. 



» Soit 



T= — T., T. 





