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 engendre un cône qui rencontre en qunlre points la circonférence de rayon oa. 

 Par ces points on mène des plans parallèles au plan des xz. Ces plans rencon- 

 trent la conique de la surface de l'onde, située dans le plan perpendiculaire à ox, 

 en quatre points réels qui sont des ombilics de la surface de Inonde. 



» En employant la bissectrice de l'angle g^oz, on trouve quatre ombilics 

 réels sur la conique dont le plan est perpendiculaire à oz. 



)) Nous voyons ainsi que, sur la surface de l'onde, il y a huit ombilics 

 réels, et nous voyons aussi comment on détermine ces points. 



» On peut remarquer que la conique qui contient les points singuliers 

 réels est la seule sur laquelle il n'y a pas d'ombilics réels. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équivalence des formes algébriques. 



Note de M. C Jorda\. 



« Deux formes F{x,, . .. ,x,i)et<P[Xt, . . . ,j:„) are variables et de degré m, 

 à coefficients réels ou complexes, sont dites algébriquement équivalentes si F 

 peut être transformé en $ par une substitution linéaire de déterminant i. 

 L'équivalence sera arithmétique et les deux formes appartiendront à la 

 même c/r755e si les coefficients de la substitution sont des entiers réels ou 

 complexes. 



» Théorème. — Les formes à coefficients entiers [réels ou complexes) algé- 

 briquement éqidvalentes à une même forme F, de discriminant^o, rie forment 

 qu'un nombre limité de classes. 



» Cette proposition a été établie par Lagrange et Gauss pour les formes 

 quadratiques binaires et ternaires. Dans ses profondes recherches sur la 

 théorie des nombres, M. Hermite a étendu ce résultat à toutes les formes 

 quadratiques, puis à toutes les formes binaires, et plus généralement à 

 celles qui sont décomposables en facteurs linéaires. Enfin, MM. Rorkine et 

 Zolotareff en ont donné récemment, pour le cas des formes quadratiques, 

 une démonstration nouvelle et d'une simplicité remarquable. 



)) Il reste à démontrer ce théorème pour les formes de degré > 2 et à 

 ji variables. Nous y parvenons de la manière suivante. Soit 



4>(x,, . . .,x„) = F{a,,,x,-h ... -f-rt,,a^„. ...,a„^x, + ..-:-«„„ j"„) 



une quelconque des formes à coefficients entiers algébriquement équiva- 

 lentes à F. A l'exemple de M. Hermite, nous lui ferons correspondre la 



