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forme bilinéaire de déterminant i 



A- 



où les quantités a' sont les conjuguées des quantités a. 



» Si l'on effectue sur <ï> une substitution linéaire S à coefficients entiers, 

 on obtiendra une nouvelle forme Y de la même classe, à coefficients 

 entiers. La forme bilinéaire correspondante ij' se déduira de o en exécutant 

 la substitution S sur les variables a:, , . . . , x„ et la substitution conjuguée S' 

 sur les variables x\, . . ., x'„. Eu suivant la marche indiquée par MM. Kor- 

 kiue et Zolotarelf, on voit que la substitution S peut être choisie de telle 

 sorte que ij; ait la forme réduite suivante : 



^ = lJ■^{x^-^ £,na'2+ ... + £,„x„) [x\+^^^X2-\- ... -\- £\„a:'„) 



où les quantités s et leurs conjuguées s' ont leurs normes non supérieures 

 à ^, tandis que p.,, ;Xo, . . . , p.„ sont réels et satisfont aux relations 



)) Ces relations fournissent : 1° une limite supérieure de p., ; 1° des 

 limites supérieure et inférieure de p.,, . . . , a„ en fonction de p,,. 



» Si nous parvenons à obtenir une limite inférieure de p.,, tous les coef- 

 ficients de ij/ seront limités, ce qui fournira une limite supérieure des mo- 

 dules des coefficients de la substitution T par laquelle F se transforme en W, 

 et enfin une limite supérieure des modules des coefficients de W. Les 

 diverses réduites Y ayant leurs coefficients entiers et limités seront en 

 nombre limité, ce qui démontre le théorème. Tout revient donc à trouver 

 une limite inférieure de p.,. Pour l'obtenir, nous poserons 



P-A = ;;»rT /<% 



ce qui nous donnera 



I \ - p,+...+p„ . 



r M. 



^V---= I. 



» Cette équation donnera pour p., une valeur qui diffère de zéro d'une 

 quantité finie si la somme p, + . . . + p„ = 7 n'est pas négative et infiniment 

 petite. Or on démontre d'autre part que, si a est suffisamment petit, on 

 pourra déterminer deux quantités j et q positives et telles que la suite 



