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» Il s'ensuit que deux forces centrales feront décrire à un même point la 

 même courbe si elles sont proportionnelles aux rayons vecteurs, aux 

 cubes inverses des distances des deux centres à la tangente, et enfin aux 

 carrés des moments des vitesses initiales. La même conséquence a lieu si 

 la courbe est décrite dans un milieu résistant en raison du carré de 

 la vitesse. 



)i Soient x,j- les coordonnées rectangulaires d'un point mobile sur un 

 plan. En posant xci)- — J'ff-^ = Tdt, on aura 



dx _ Tdr d' X _ .r ; dyd' x — ,lr tPy ) ^ ^ 'Ix , 



dl xdy — ydx cW (■':dy — ydx)' ' [xdy — ydx)' ' 



et une autre équation tout à fait semblable pour j'. En appelant donc/3 

 la distance de l'origine à la tangente, p le rayon de courbure, ou bien en 

 posant xd}' — ydx = pds, djd^x — dxd'^y -- ods^^ on aura 



d\r _ X T- dx TrfT d'Y _ y T' dy T ilT 

 dt' p' p ds p'-c/s ilO p^ p ds p'ds 



ce qui prouve le théorème énoncé. 



" Si la force tangentielle est nulle ou proportionnelle au carré de la 



vitesse, l'équation -r-i- = — /iV-= -A — donne 



' p^ as p ■ 



\e 



-As 



Donc deux forces Ret R' passant par O et O'feront décrireàun même point, 

 soit dans le vide, soit dans un milieu résistant en raison du carré de la vi- 



tesse, la même courbe, si l'on a R' ; R — — ,-- : - ; cela démontre le second 



pli pi 



théorème. 



» Pour une section conique on peut, comme on sait, remplacer le rap- 

 port p : p' par BP ; B'P', B et B' étant deux constantes, P et P' les distances 

 du point variable aux polaires de O, O'; et alors de la valeur connue de R, 

 O étant le foyer ou le centre, on tirera R' pour tout point O'. 



» Soient n forces F,, F,, . ., F„, dont chacune est propre à faire par- 

 courir à un même point m la courbe S. Leur résultante F jouira de la même 

 propriété sous certaines conditions des vitesses initiales, données par 

 M. Bonnet (il/t'c. ona/., édition Bertrand, Note IV); et alors, en passant par un 

 même point de S, ni, sons l'action de chacune des forces, aura les vitesses 

 f,, (^21 • • -, ''/M '', liées par la condition i'J + c^ 4- ... + (',: = P". On augmente 

 un peu la portée du théorème de M. Bonnet appliqué à un point en re- 



