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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les trctnsformalioiis du second ordre des 

 fondions lijperellipiiques qui, appliquées deux fois de suite, produisent la 

 duplication. Note, de M. C.-W. Borcuardt. 



« 2. La transformation liyperelliptique imaginaire et du second ordre ex- 

 posée dans le précédent numéro des Comptes rendus présente une analogie 

 parfaite avec la transformation elliptique considérée en premier lieu. Mais 

 elle n'est pas la seule transformation hyperelliptique du caractère parti- 

 culier qui nous occupe; il y a, au contraire, une grande variété de ces 

 transformations, et parmi elles il existe un certain nombre de transforma- 

 tions réelles. Comme exemple de ces dernières, je choisirai celle qui lie 

 entre eux les résultats de Gopel et de M. Rosenhain et qui présente en 

 même temps un si grand intérêt historique. 



» Soient S- les fonctions hyperellipliques aux deux arguments v,, v^ cl aux 

 paramètres ■:ii)'^f2) "22; et les fonctions aux arguments 



et aux paramètres 



•'11 = il'^H-l- 2r,2+7.2), T'io = i(-|i - Tj.), t',, = -^(-,,- 27,„-hTo,) 



et désignons pur c et y respectivement les valeurs que prennent pour 

 r, = t'j = o les fonctions 3- et -/j. 



Cela posé, les fonctions ^ et /j se transforment les unes dans les autres 

 par le système d'équations 



i-j, r,- = &'^ H- &- -h S-^ + S^ 



„,, ., C-2 _i_ 02 0-2 C.2 



■^ 10 '10 — ■-'5~'"'li '^23- ■^141 



„,, ., — C,2 C.2 _i C^2 rx2 



■4 /23 'i23 — -^5 ■^0^^'^23 ■^14' 



T 1 ., Ci2 _ C.2 Ci2 , C.2 



2/|.i'3u — -^s -^U ■^2 3~'~'^14- 



Donc, en définissant deux systèmes de modules x.,, x^, /..^ et }.,, 1.,, Àj par les 

 formules 







