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les deux systèmes de modules se trouvent liés entre eux par les équations 



)., 



I -h y-, -I- •/;-[-■/;, 



équations qui montrent que la transformation dont il s'agit, appliquée deux 

 fois de suite, fait retomber sur les modules primitifs et produit la duplica- 

 tion. 



» La complète analogie de ces formules avec l'expression X = ^ ^, 



mentionnée plus haut justifie d'une autre manière l'introduction des 

 quantités par lesquelles j'ai remplacé les modules de Richelot. 



» Les fonctions linéaires et fractionnaires qui expriment dans ces re- 

 cherches les modules transformés par les modules primitifs ont cette pro- 

 priété que l'on parvient à leurs fonctions inverses en échangeant entre eux 

 les deux systèmes de modules. En rendant homogènes les équations qui 

 lient les deux systèmes de modules, on les réduit aux équations suivantes : 



2 1 I ^^^ JC -T~ jC f jCo it 3 1 



2)2 '~~ ^ "^ I """ - 3 1 



2^3 •-* ' ) 2 "*" .> J 



que l'on résout également en échangeant entre eux les x et les/. 



» On forme aisément des équations linéaires de 8, 16, 32, ... inconnues, 

 douées de la même propriété fondamentale; il suffira de les proposer dans 

 le cas de huit inconnues. 



D Soient £,, £0, £3 trois quantités dont chacune est = ± i, et posons 



Y^8 .;- = .r„ + £, .r, + e.x^ + £3X3 + £o£a x.,-^ -+- £, Es-^'u + ^i ^^^i^ -I-- h Si^i-ï'iîs- 



)) Désignons par u, fi, 7 les indices i, 2, 3 dans un ordre quelconque, et 

 donnons à 7 



luand 



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