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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Développements de sécx et de langa;. Noie de 

 M. D. André, présentée par M. Hermile. 



« On n'a point donné jusqu'à présent, du moins à ma connaissance, de 

 développement, suivant les puissances de ar, soit de tang,r, soit de séc jj, 

 où les coefficients aient une définition simple, nette, indépendante de tout 

 autre développement. L'objet de la présente Note est de combler cette 

 lacune. 



» Les nombres que j'y emploie résultent immédiatement de la notion, 

 probablement toute nouvelle, des permutations alternées de n éléments dis- 

 tincts. 



» Pour définir celles-ci, considérons n éléments distincts a,, «o, «3, .. ., 

 a,i, et formons-en toutes les permutations. Si dans l'une quelconque 

 d'entre elles nous retranchons chaque indice du suivant, nous obtenons 

 une suite de « — i différences. Lorsque, tout le long de cette suite, ces dif- 

 férences sont alternativement positives et négatives, la permutation est al- 

 ternée; lorsque, au contraire, cette continuelle alternance des signes ne se 

 présente pas, la permutation n'est pas alternée. Par exemple, dans le cas 

 particulier où ?i = 4, les permutations Uia^a^oCi, «sKaO^Af^i sont alternées, 

 et les permutations UiaiOc^ix,, a^a^^t ''^-k "e le sont pas. 



» Le nombre des permutations alternées de n éléments distincts est, par 

 sa nature même, toujours positif et entier. On peut démontrer aisément 

 qu'il est aussi toujours pair. Je le représente par 2A,,, en convenant de 

 donnera chacun des nombres Ao, A,, Aj, qui sont en eux-mêmes dépourvus 

 de sens, une valeur numérique égale à l'unité. Les nombres A„, qui sont 

 les moitiés des nombres des permutations alternées de n éléments dis- 

 tincts, possèdent ainsi une définition combinatoire extrêmement nette. Ils 

 sont pour le moins aussi faciles à calculer de proche en proche que les 

 nombres de Bernoulli. Ils donnent pour sécx, de même que pour tangj:-, 

 une forme de développement qui paraît être la plus simple possible. 



» Pour montrer combien ces nombres A„ sont faciles à calculer, il me 

 suffit de faire observer que A,i+, est lié aux nombres précédents A„, A,, 

 Ao, . . ., A„ par la relation 



aA„„ = C;;AoA„-+- CiA, A„.., + C„^A,A„_,-h . . . + Q'A„A„, 



qui s'établit par les raisonnements combinatoiresles plus simples, qui sub- 

 siste pour toutes les valeurs de n entières et supérieures à zéro, et où les 



