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 coefficients C,% C,;, C,;, ..., Q sont ceux du développement de la «'""^ 

 puissance du binôme. 



» Cette formule donne évidemment le moyen de calculer de proche en 

 proche toutes les valeurs de A„. Elle permet en outre, ce qui est sans nul 

 doute beaucoup plus important, de déterminer la fonction génératrice du 



rapport-. 



» En effet, si l'on pose 



Y. Al Aj n A* <) A* . 



la formule considérée conduit naturellement à l'équation différentielle 



2 — = 1 +Y^ 



laquelle, si l'on y joint la condition Y := r pour .r = o, nous donne immé- 

 diatement la fonction génératrice 



Y = tang [j + 



» On a donc identiquement, pour toutes les valeurs de x dont le module 

 est inférieur à une certaine limite, 



/tt x\ a. Aï ^ A, ~ A, . 



"^"S (^4 + 2 j = ^0 + 7! -^ -^ 27-^"" -+" 3!^ + ^ X' + . . .. 



» A l'aide des identités élémentaires 



^''^"S l4 + ïj + ^^"S [i -1) = ^ '^'=^' 

 t'i"g(^ + -}j - tang(^ -- j) = 2 tangjT, 

 on en déduit les développements 



/ i "-7 ty Ai. Afî(. 



secJ: = A„H — z x- + — x'^ -+- .,x^ + .... 

 a! 4! o! 



■A] A3 , A^ - A7., 



tanga- = — X + tt: X-' -[- -p-, x^ -\ -X' -\- . .. , 



° 1 ! o! 5! ']\ 



dans chacun desquels A„ représente toujours la moitié du nombre des per- 

 mutations alternées de n éléments distincts. 



» Ce sont là les deux fornuiles que je me proposais de faire connaître. 



