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je conviens, en outre, de prendre toujours celle des valeurs de la fonc- 

 tion arcsin qui est comprise entre — - et + -• 



» Cela posé, je considère les deux fonctions définies par les séries 



(>) ^,(x) - (I - cp^.r - (. - ^if+ . . H- (-,)"-'(, -^„7'-i- . . . , 



(2 ) /A^) = - '^'' + 9-. - ft. + ...-+- (-1)"-' f-n + • • • » 



OÙ k désigne un entier positif quelconque. Ces deux séries sont conver- 

 gentes pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et + i; en effet, 

 leurs termes sont alternativement positifs et négatifs, et l'on s'assure faci- 

 lement, à l'aide des relations 



(j5„+, = sin ^ 9„, y_„_, = ^ arcsinip^,,, 



que l'on a <p,f+, ><p,!, çl„_, <ij5l„, et que 9,7, oi„ tendent respectivement 

 vers les limites i et zéro quand n augmente indéfiniment. Les deux fonc- 

 tions ainsi définies possèdent les propriétés exprimées par les équations 



(3) i};,(sin^j:) = - <^,{x) + [i - (s'"^-^)'] ' 



(4) ' /A (sin ^ -^j = - /A ('-Ï-) - (sin ^ .r ) . 

 Si alors on pose 



(5) ^.(^•) = ^,(x) - 'h.yx) 4- X2(-r) - x,(x), 



il résulte des équations (3) et (4), dans lesquelles on fait successivement 

 A- = I, k= 2, que l'on a 



0, (sin-xj = — ^i{x). 

 » D'une manière générale, posons 



*,_, {ce) = |,(x) - ^, (x) + [(I - /c)x, {x) + ''^=^ X, {x) 



H-(-'r'TXA-.(-^')+(-0"XA(-^)], 



les coefficients de la quantité entre parenthèses étant, à partir du second, 

 les coefficients du développement de [\ — iif. Nous obtenons ainsi une 



