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fonction qui, en vertu des équations (3) et (4), vérifie la relation 



» Si maintenant on prend le produit de deux de ces fonctions $, on 

 obtient immédiatement une fonction F(.r) telle que 



Ffsin-xj = F(x) = F(-arcsinj: 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ime propriété dcs fondions entières. 

 Note de M. E. Picaro. 



« Il peutarriver qu'une fonction entière G(z) (nous entendons par là une 

 fonction uniforme et continue dans toute l'étendue du plan) ne puisse, pour 

 aucune valeur finie de s, prendre une certaine valeur finie a. L'expression 

 e^'*', par exemple, oùy(;3) est entier, ne devient jamais nulle. Considérons 

 donc une fonction entière G(z), ne devenant jamais égale à a. Je me pro- 

 pose de montrer dans cette Note qu'il ne peut exister une seconde valeur finie 

 b, différente de a, que ne puisse prendre G(z); en d'autres termes, il ne 

 peut y avoir plus d'une valeur qui ne soit susceptible de prendre pour une 

 valeur finie de la variable une fonction entière. Nous allons en effet mon- 

 trer qu'une fonction G(z), qui ne deviendrait jamais égale ni à a ni à b, 

 serait nécessairement une constante. 



» Commençons par rappeler quelques propriétés d'une transcendante 

 importante dans la théorie des fonctions elliptiques, qui seront utiles pour 

 notre démonstration. Soient 4K. et 2îK' les périodes de la fonction ellip- 

 tique ordinaire, et désignons par w le rapport —• On peut considérer w 



comme une fonction du carré jc^=k- du module A, et inversement x est une 

 fonction uniforme de a, comme l'a montré M. Ilermite, à qui l'on doit 

 l'étude de cette transcendance remarquable. La fonction a de jc n'ad- 

 met dans tout le plan que trois points critiques : ce sont les points o, i et 

 le point co . Dans toute région du plan à contour simple ne contenant 

 aucun de ces trois points, la fonction est uniforme et continue. De plus, 

 pour toute valeur de x, différente de o, i, co , a n'est jamais nul, et le 

 coefficient de i dans cette fonction, mise sous la forme ordinaire des quan- 

 tités imaginaires, est toujours positif. 



Soit maintenant F(:;) une fonction entière ne pouvant prendre aucune 



des valeurs a ou b pour une valeur finie de s. L'expression -^,— — - ne 



