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deviendra jamais égale ni à zéro ni à l'unité; nous la désignerons par 

 G{z). Posons x = G(z); à une valeur quelconque z^ de z correspond 

 une valeur x^ de x, et quand :; décrit un chemin quelconque G partant 

 de ^0 et revenant à ce point, x décrit une courbe fermée C pouvant, par 

 des déformations continues, être ramenée au point jTq sans franchir aucun 

 des points o et i . Déformons en effet la courbe C, sans cesser de la faire 

 passer par le point Zo ; nous pouvons ainsi la réduire à ce point. Il est clair 

 que, par ces déformations continues de C, nous réduirons la courbe cor- 

 respondante C au point Xf,, sans qu'elle traverse jamais aucun des points 

 o et 1, puisque, par hypothèse, G(z) ne prend jamais ces valeurs. 



» Ceci posé, à la valeur oc^ de x correspondent une infinité de détermi- 

 nations de la fonction w, définie précédemment. Considérons l'une d'elles, 

 que nous désignerons par Wo. Lorsque x partant de x^ revient à ce point 

 après avoir décrit une courbe n'euibrassant ni le point o ni le point i, 

 la fonction u reprend la valeur w,,. Regardons maintenant w comme une 

 fonction de z. Nous partons de z^ avec la valeur w = m^, et, quand z décrit 

 un chemin quelconque C et revient en z^, w reprend la valeur w^, puisque, 

 comme nous l'avons fait remarquer, à la courbe C correspond dans le plan 

 des a: une courbe C n'embrassant aucun des points o ou i. On conclut 

 de là aisément que, z allant du point z,, à un point quelconque du plan, 

 w prend toujours en ce point la même valeur, quel que soit le chemin suivi 

 pour y arriver. D'autre part, pour toute valeur de z, oj a une valeur finie, 

 puisque à chaque valeur de z correspond toujours une valeur de x, diffé- 

 rente de zéro et de l'unité. Par conséquent, nous pouvons regarder w comme 

 une fonction de z uniforme et continue dans toute l'étendue du plan, c'est- 

 à-dire une fonction entière; déplus cette fonctionne devient jamais nulle, 

 w étant différent de zéro pour toute valeur finie de x autre que o et i . 

 Nous pouvons donc écrire 



e"'% 



P(z) étant une fonction entière. Posons maintenant 



z = a + ili, V{z) = /(«, ft) + io{a, /3), 



les fonctionsy et o étant des fonctions réelles, bien déterminées, des deux 

 variables réelles a et p, et continues pour tout système de valeurs de ces 

 variables. Nous aurons alors 



(3) 0) == </(«•?) {cos[9(«, fi}] + isin[<p{a, |3)]j. 



Mais nous avons vu que le coefficient de i dans w doit être positif; donc 

 sin[f (a, /3)] doit être positif pour toutes valeurs de « et de /3, et, par suite, 



