( loaô ) 

 ip(a, /3) doit rester compris entre iIîti et (2/1 + 1)7:, k étant un entier. Or 

 cela est impossible; c'est ce qui résultera du théorème suivant : 



M TJne fonction o de u et ^ bien déterminée et continue, ainsi que ses dé- 

 rivées partielles pour tout système de vnleuts de a et /3, et satisfaisant à l'équation 



ne peut rester comprise entre deux limites Jî.xes^ à moins quelle ne se réduise à 

 une constante. 



» On sait, en effet, qu'il n'existe qu'une seule intégrale de l'équation (I) 

 restant finie et continue, ainsi que ses dérivées, à l'intérieur d'un contour C 

 et prenant des valeurs données en tous les points de ce contour. Dans le 

 cas où le contour C se réduit à un cercle, la valeur de celle intégrale en un 

 point A du cercle est donnée par la formule connue 



2 710 



''^^/^•(S'-S)^^^ 



l'intégrale est prise le long du cercle sur lequel est donnée la valeur de la 

 fonction (p; r désigne la distance du point A à un point variable de la cir- 

 conférence et r^ la distance à ce même point du point A, conjugué de A 

 par rapport au cercle; dty est l'élément d'arc de la circonférence, et enfin 



— - et ^ désignent les dérivées de logr et logr, prises dans le sens de la 



rt/i t/n " o o ' i 



normale au cercle. En effectuant le calcul indiqué par cette formule, on 

 reconnaît que l'on peut écrire 



2 7101 



i -h>^ 



où R désigne le rayon du cercle et M une fonction de R, de l'angle 6 et des 

 coordonnées du point A, qui reste finie quand R augmente indéfiniment. 

 Pour un autre point A' à l'intérieur du cercle R, on aura 



et, par suite, 



2n{f'-ç)= ^ f (p.{M'-m)dO. 



« Le premier membre de cette formule est une quantité indépendante 

 de R. On reconnaît de suite que le second membre est aussi petit que l'on 

 veut, si R est suffisamment grand, puisque y reste toujours compris entre 

 deux limites déterminées; il est donc rigoureusement nul; donc 9 = '/, 

 c'est-à-dire que la fonction y (a, fi) est une constante. 



