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211 -\r I constantes arbitraires, analogues aux fonctions Y„ de Laplace, et 

 que Lamé a introduites dans l'Analyse à l'occasion de l'intégration des 

 équations de la Théorie analj tique de la chaleur, dans les cas des ellipsoïdes 

 de révolution. D'abord, l'analogie des résultats précédents avec celui ob- 

 tenu par Jacobi dans son Mémoire sur les fonctions Y„ montre qu'une ana- 

 lyse identique à celle dont l'éminent géomètre allemand a fait usage, et qu'il 

 est inutile de reproduire ici, doit nécessairement conduire à des consé- 

 quences toutes semblables. C'est effectivement ce qui a lieu, car, en dési- 

 gnant par U„ l'intégrale définie contenue dans le second membre de 

 l'identité (i ) et en posant 



tangb/5 = -n, ty'i - tangh^p e'''^-'" = z, 

 langY — 'Ç, \/ 1 -h tang^'ye'*'^'"'^) = z, 

 on trouve immédiatement 



/ / 



(3; 



U„ = ^,i , R . + 2 > — — -^ — — ^- (i - rr '■ I + C' ) 



X M_j/+.ll_j^H cos/(w — zs ). 



» Dans le second membre de cette égalité, M_2^m est le coefficient de 



i"~' dans le développement de (i — avji + i^) ' ordonné suivant les puis- 

 sances ascendantes de t, et R .7+1 est, à une puissance près de l'imaginaire i, 



■jt 



le coefficient correspondant dans le développement de (i — 2/Ç^ + t") ' , 

 ordonné de la même manière. On connaît donc les valeurs de ces deux 

 fonctions sous forme d'expressions différentielles, ainsi que leurs propriétés 

 analytiques. 



» Si, dans le développement (2), on pose de même 



coth 7 = Ç, i\Ji — cotli-7e'("-^' = z, 

 tangh a = |, /y' i — tangli^ «e"''-^' — z. 

 on trouve encore 



V„ = N'"'.R"". + 2? (■•3.5---=^^-')' (, _ ..f^^ _ ^j 

 (4) 



