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 » Les séries (6) et (7) pourront encore se terminer respectivement par 



a, h, ... '.' et c,r/, ... ^''~' > si l'on a i^a H- i, «sso, p'^o. 



*n — I 



» Enfin, elles pourront se terminer respectivement par 



a,b^ ... ai_, bi_^ «,, c^d^ ... c,_, d,_ , ai 



avec les conditions i 4- A^ 7i + i , i^k, [ai\ ^ (7 + j — i • 



» On ne pourrait satisfaire à cette dernière condition, si l'on avait simul- 

 tanément 



i + k = n-{-ï, /^(7 4-i, p'^i. 



Ce cas doit donc être exclu. 



)) 6. Considérons comme équivalents deux systèmes satisfaisant aux con- 

 ditions du problème IV lorsqu'ils peuvent être transformés l'un dans l'autre 

 par les substitutions qui permutent entre eux les symboles, sans altérer 

 leurs caractères ni la somme de leurs exposants d'échange trois à trois. On 

 voit aisément que, si (7^i, tout système de la forme (6, 7) est équivalent 

 à un système analogue où la série (7) se réduit aux trois termes c,, ci,, c, d,, 

 et que, si a^o, il est équivalent à un système analogue, où la série (7) a 



cinq termes 



le, 

 c\ d, \ cl. 



c, 



» Cependant, si ff^o, le système .' a,b,(i2, ' c\d,n2 fera exception à 



la règle précédente. Il en sera de même du système ,' ' > s'd est complet, 





ce qui n'aura lieu que si n^o, R^o. 



» Les systèmes qui restent après cette réduction ne peuvent être équi- 

 valents. 



» 7. Problème V. — Trouver les systèmes complets tels que les exposants 

 d'échange mutuels de deux quelconques de leurs symboles soient nuls. 



» Les symboles de ces systèmes auront pour forme générale «'•«'' . . . a'" 

 avec la condition [a^^,n^]'^o. 



» 8. Problème YI. — Trouver les sjslènies complets satisfaisant à la con- 

 dition précédente et tels que leurs symboles aient un même caractère a. 



Si ff^OjR^o, ces systèmes auront la forme précédente, avec la condi- 

 dition [a^]^<j. 



» Si ff^o, R^ I, [a„] ne pouvant être ég;d à cr, le système se réduira 

 aux symboles n\' . . . «J,:r,'. 



