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)) Cette droite perce le plan des xy au point qui a pour coordonnées a 

 et /j. Un point réel est représenté par la perpendiculaire élevée au point 

 du plan qui représente en coordonnées ordinaires ce point réel. Deux 

 points conjugués sont représentés par deux droites symétriques par rapport 

 au plan des xj. 



» 2. Représentation d'une courbe. — Soit une équation /(a-, /) = o; 

 remplaçons x par a -h p \/— i , / par ^ -\- q\j — i , et séparons les parties 

 réelles et les parties imaginaires; on a ainsi deux équations 



<V[a,f^,p,q) = o. 



Si maintenant on regarde a, j3, p, q comme les paramètres de la droite 

 {^jc = a — qz, j z=z ^j -^ pz), ces deux équations définissent une congruence 

 de droites ou un système de rayons rectilignes dépendant de deux para- 

 mètres arbitraires. 



» Une droite sera donc représentée par une congruence linéaire. Les deux 

 directrices de cette congruence sont deux droites toujours réelles, rectan- 

 gulaires, parallèles au plan des xy et à des distances dont le produit est + 1 . 

 Il n'y a exception que pour une droite dont le coefficient angulaire est 



± y/— I , qui est représentée par un point du plan 2 = ± i. Au moyen de 

 ces deux directrices on arrive à une représentation simple des symboles 

 algébriques qui expriment la distance de deux points, l'angle de deux 

 droites, etc. 



» Nous venons de voir qu'en général les points d'une courbe sont repré- 

 sentés par les droites d'une congruence. On sait que toutes ces droites sont 

 les tangentes doubles d'une surface à deux nappes. Dans le cas qui nous 

 occupe, ces surfaces jouissent des propriétés suivantes : 



» Les deux points de contact d'une tangente double sont à des distances 

 du plan des xy <\on\ le produit est +1, et les plans tangents à la surface 

 en ces deux points coupent le plan des xj suivant deux droites rectangu- 

 laires. On voit donc que les traces de ces deux plans tangents sur les plans 

 horizontaux passant par leurs points de contact peuvent être regardées 

 comme les directrices d'une droite imaginaire. Cette droite est la tangente 

 à la courbe au point considéré. L'ime des nappes de cette surface ne se 

 réduit à une courbe que dans le cas du cercle à rayon réel. Les deux 

 nappes ne se réduisent à deux courbes que pour la droite imaginaire. 



» On arrive aussi à des résultats simples pour la représentation du rayon 

 de courbure et de l'arc d'une courbe. 



