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» 3. Représentation des coniques. — Une conique est représentée par 

 l'intersection de deux complexes du second ordre, ayant pour caractéris- 

 tiques des coniques dont le plan est parallèle au plan des xj. 



» La surface à deux nappes correspondante offre comme propriétés les 

 plus saillantes que ses sections par des plans parallèles au plan des jcj- 

 sont des courbes à centre, de quatrième classe, ayant huit asymptotes deux 

 à deux parallèles et toujours imaginaires. Il n'y a exception que pour 

 quatre plans. La section par un de ces quatre plans présente une asymptote 

 réelle quadruple et quatre asymptotes imaginaires deux à deux parallèles. 



» Dans le cas de la parabole, elles sont de troisième classe et ont deux 

 asymptotes imaginaires à l'infini. Il n'y a exception que pour deux plans, 

 qui offrent une asymptote double réelle à l'infini. Enfin, dans le cas du 

 cercle, cette surface se compose d'un ellipsoïde et d'un hyperboloïde 

 ayant deux ombilics réels communs dans les plans ^ = dr i. 



» 4. La représentation des symboles imaginaires par des figures géomé- 

 triques donne, pour chaque théorème de Géométrie plane relatif à une 

 figure réelle, deux théorèmes correspondants relatifs aux figures de l'espace 

 qui représentent ces symboles. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Nouvelle démonstration de la loi de réciprocité, 

 dans la théorie des résidus quadratiques. Note de M. E. Schéking, présentée 

 par M. Hermite. 



« Désignons respectivement par 



Nom|^.,,Pos. 9 (p., v), Nom^,,,Nég.9(p., v) 



le nombre des valeurs positives et le nombre des valeurs négatives de la 

 fonction ©(p., v) quand les variables p. et v prennent des valeurs données. 

 Selon le théorème de Gauss [Tlieorematis aritlimetici demonslratio nova; 

 Gôttingue, i8o8 [OEuvres de Gauss, t. II, p. 4)j, pour un nombre premier 

 impair ni, un nombre n non divisible par m est résidu ou non résidu qua- 

 dratique, suivant que les fractions en valeur absolue les plus petites con- 

 tenues dans les — - nombres 



I . « 2 . « 3 . « 



m m m 



comprennent un nombre pair ou impair de valeurs négatives. Eu désignant 



i4i.. 



