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et profitant de l'équation (i), j'en déduis l'équation différentielle 



du QT^ -'. 



rt.r, ' 



OÙ 



.X( ^^ —9 II ^^ LiOC . 

 » c'est l'équation de Riccati, qui a pour intégrale, dans ce cas, 



îi = .r^ Z = |.r 4- i/-^ j:- tang (C + a-yë^î) • 

 » Si l'on prend pour condition initiale Po = ^5 ou trouve 



Z= ;^^(i — Xv^êPaCOl^^^/âK), 



d'où 



(j:\/6Po)cot(a'VbPo) — I — -iV^x- — 2P^,t'— .... 



» Afin de poursuivre l'intégration de l'équation et de donner l'inter- 

 prétation des fonctions P, je compare, il est vrai, le développement de 

 xcotx obtenu en partant de l'équation aux différences avec le dévelop- 

 pement connu, ce qui permet de montrer aisément que les fonctions P 



sont les sommes des séries ^-:^' Cependant, il est visible que le procédé 



que j'ai employé conduit au développement de Jîcotj:?, et par suite des 

 autres fonctions, indépendamment de tout autre développement, et re- 

 vient, en cela, à la méthode de M. D. André. 



» Je ferai une autre remarque au sujet de l'équation aux différences 

 finies dont je viens de rappeler l'intégration. 



» A cause de la relation 



la formule (i) permet de substituer au calcul des nombres de Bernoulli 

 le calcul de fonctions données par une série récurrente dont tous les coef- 

 ficients du second membre sont égaux à l'unité. 



» Dans un beau travail sur les nombres de Bernoulli, publié tout récem-' 

 ment dans les Annales de l'Ecole Normale supérieure (t. VIII, p. 55 et suiv.), 

 M. Gohierre de Longchamps croyait devoir faire remarquer que, « dans 

 » toutes les formules données jusqu'ici », les coefficients des séries em- 

 ployées pour le calcul de B2p_, sont des fonctions de p. 



