( "29 ) 

 tenons ainsi une surface (G,), engendrée par une droite G, entraînée pendant 

 le déplacement d'une figure de forme invariable, et nous n'avons qu'à ap- 

 pliquer quelques propositions relatives au déplacement d'une pareille figure 

 pour trouver des propriétés de (G, ). 



» Pour un déplacement infiniment petit, le plan mobile (G, G,) a une 

 caractéristique qui doit passer par o, puisque ce point est fixe, et respecti- 

 vement par les points a et rïi, où il touche (G) et (G, ). Donc : Les points de 

 contact a, rr, du plan (G, G, ) avec les surfaces ( G) et (G, ) sont sur une droite 

 qui passe par o. 



» Soity le foyer du plan mobile (G, G,). Ce point est sur la perpendicu- 

 laire o/^à on, puisque la droite on passe toujours par le point o. Projetonsy 

 en b et b, sur G et G,. Le plan (G, G,) est normal à (G) et (G,) en ces 

 points helb,. Les points o,f, b, n,b, sont sur une circonférence décrite sury« 

 comme diamètre. L'angle bob, est alors droit. Le point b, est donc la po- 

 sition que prend b lorsque G est venu en G,. 



)) En disant que b, correspond à b, nous avons alors cette propriété : Le 

 plan (G, G, ) est normal aux surfaces (G) et (G,) en des points b, b, qui se cor- 

 respondent. 



» Le plan central de (G) est parallèle à l'axe du déplacement de la figure 

 mobile ; de même pour (G, ). Mais cet axe est aussi parallèle au plan mené 

 par la caractéristique na^ perpendiculairement au plan (G, G,). Donc : Sur 

 le plan mené par an, jierpendiculairement au plan (G, G,), les traces des plans 

 centraux de (G) et de (G, ) sont des droites parallèles entre elles. 



1) Le plan normal en n à la trajectoire de ce point passe par le foyer y"; 

 sa trace sur le plan (G, G,) est alors nf. Appelons b' le point où ce plan 

 normal rencontre la perpendiculaire élevée en b, au plan (G, G,). La droite 

 nh' est la normale en n à (G), et/6' est parallèle à la normale en ii à (G, ). 

 Appelons y l'angle que la normale en n à (G) fait avec la normale en b 



à cette surface. On a tangv = -y-;de même pour (G,), on a tangv, ==-^' 

 par suite ■ ''"^ -' ' - = -r^- Nous pouvons donc déterminer l'angle v, pour le 



' langv, Li,n ' 



point n de G,. 



» Pour la génératrice G,, nous connaissons maintenant aux trois points 

 fl,, i,, n les normales à (G, ); nous pouvons alors déterminer la normale à 

 cette surface en un point quelconque de G|. A cet effet, nous allons con- 

 struire la droite auxiliaire de (G,) ('). 



(') Voir Mémoire sur les pinceaux de droites, etc. [Journal de Mathématiques de 

 M- Liouville, i^ série, t. XVII). 



