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» Traçons d'abord la droite auxiliaire de (G), en prenant comme origines 

 le point b et la normale en ce point à (G). Au point 6, sur le plan (G, G, ), 

 j'élève la perpendiculaire bx à G : cette droite est la normale en b à (G). 

 Je mène be de façon que l'angle xbe soit égal à v : cette droite rencontre la 

 perpendiculaire élevée du point « à G en un point qui appartient à la droite 

 auxiliaire cherchée. Ou voit aussi que a est un point de cette droite : donc 

 ae est la droite auxiliaire de (G). Traçons de même la droite auxiliaire a,e, 

 de (G,) au moyen de l'angle v,. 



» On a 



d'où 



hn . h,n 



tanev = — ■> tanË;v,= — : 



° ne ° ne, ' 



tangv hn iie^ 



taiiL'Vi b^Ji ne 



» En comparant celle expression avec celle qui a été trouvée précédem- 

 ment, on voit que lie, ■= ne. Ainsi : Pour construire ta droite auxiliaire de 

 (G, ), il suffit de joindre le point a, au point e,, qu'on obtient en portant te seg- 

 ment ne, égal au segment ne. 



» Au moyen de a,e,, on construit facilement te point central sur G, : on 

 abaisse du point b, une perpendiculairesur rt|e,,et l'on projette le pied de 

 cette droite sur G,. Si (G) est une surface développable, a et Z» sont con- 

 fondus : l'angle b^oa, est alors droit. Donc : La transformée d'une surface 

 développable est telle, qu'un plan passant par o et une génératrice touche cette 

 transformée et lui est normal en des points qui comprennent un segment vu du 

 point o sous im angle droit. 



» La réciproque de cette proposition est évidemment vraie. 



» Modifions les conditions de déplacement de la génératrice mobile G. 

 Supposons que G engendre (G) de façon que le point m décrive une trajec- 

 toire orthogonale des génératrices de cette surface. Pour un déplacement 

 infiniment petit, le point b décrit une trajectoire normale à G, et, comme 

 en ce point le plan tangent à (G) est perpendiculaire au plan (o, G), l'élé- 

 ment décrit par b est normal à ce plan. 



» Le point b,, correspondant à b, décrit alors aussi un élément normal 

 au plan (o, G). La droite G,, se déplaçant sur (G,) de façon que Z», décrive 

 cet élément, fait décrire à tous ses points des éléments qui lui sont per- 

 pendiculaires : le point m,, correspondant à m, décrit alors un élément de 

 la trajectoire orthogonale des génératrices de G,. 



» On peut répéter le même raisonnement en prenant pour chacune des 

 positions de G un point tel que b. Donc : Jux points d'une trajectoire oiilio- 



