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» Si nous regardons f ,, t.,, t^ comme les coordonnées d'un point de l'es- 

 pace, les équations précédentes représentent une cubique plane. On voit 

 donc que la théorie du quadrilatère articulé est ainsi ramenée à celle d'une 

 cubique, représentée par les deux équations précédentes. On pourra donc, 

 en particulier, exprimer les quantités ?,, c'est-à-dire les lignes Irigonomé- 

 triques des angles oj,, au moyen des fonctions elliptiques snX, cnX, dnX 

 d'un certain argument >.. Le présent travail est consacré à la recherche de 

 ces expressions et à l'exposition de quelques conséquences géométriques 

 des formules trouvées. Mais, avant de commencer cette étude, je montrerai 

 comment la considération de la cubique plane ainsi associée au quadri- 

 latère peut conduire à une classification lationnelle des différentes formes 

 qu'il peut présenter. 



)) Considérons la fonction symétrique 



P = [a -h b — c — (i ) {a -h- c — b — d) [a ~h d — b — c) 



des quatre côtés du quadrilatère. Tant qne cette fonction ne sera pas nulle, 

 la cubique associée au quadrilatère n'aura pas de point double. On aura alors 

 ce que l'on peut appeler le quadiilatère général ou elliplique, car la théorie 

 dépend alors réellement de fonctions elliptiques dont le module est dif- 

 férent de I et de zéro. Il conviendra de partager les quadrilatères généraux 

 en deux classes, correspondant aux deux signes différents de la quantité P. 

 Il est facile de caractériser ces deux classes par différentes propriétés géo- 

 métriques. Si l'on fixe, par exemple, deux sommets consécutifs A, B d'un 

 quadrilatère articulé ABCD, on obtient un mécanisme qui transforme une 

 rotation de BC autour de B en une rotation de AD autour de A. Si l'on veut 

 que les deux rotations qui se transforment ainsi l'une dans l'autre soient 

 continues toutes les deux, on reconnaîtra aisément que cela ne peut avoir 

 lieu que si la quantité P est négative, AB étant le plus petit côté du quadri- 

 latère. 



» Lorsque la quantité P aura un seul de ses facteurs nuls, la cubique 

 aura un seul point double. On obtiendra alors le quadrilatère le plus gé- 

 néral ctrconscriptible à un cercle. On voit qu'on pourrait aussi l'appeler uni- 

 cursnl, puisque, la cubique associée ayant un point double, on pourra ex- 

 primer les lignes trigonométnques des angles du quadrilatère en fonctions 

 rationnelles d'un seul paramètre. 



» Lorsque la quantité P aura deux de ses facteurs nuls, la cubique associée 

 aura deux points doubles ; elle se décomposera en une droite et en une co- 

 nique. Aux valeurs des quantités t satisfaisant à l'équation de la droite cor- 

 respondra le mouvement dans lequel le quadrilatère affecte la forme d'un 



