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 parallélogramme. Si le point [t.,, ?2, ^3) se déplace au contraire sur la 

 conique, le quadrilatère sera circonscriptible à deux cercles, c'est-à-dire 

 qu'il deviendra, soit un contre-parallélogramme {a, h, a, b), soit un quadri- 

 latère qu'on pourrait appeler bi-isoscèle [a, a, b, b). Enfin, quand la quan- 

 tité P a ses trois facteurs nuls, la cubique se décompose en trois droites et-Je 

 quadrilatère devient un losange. 



» Ces remarques préliminaires étant faites, revenons au quadrilatère gé- 

 néral. Un premier moyen d'exprimer les angles du quadrilatère repose sur 

 l'emploi de l'identité suivante, donnée par Jacohi dans le tome XV du 

 Journal de Crelle (p. 200): 



[ sn(w — .r)sn(/ — z) -+- sn(w — j)sn(z — x) + sn (w — z) sn(.r — y) 



\ -h k- sn(oj — x) sn(w — ;-)sn(aj — z)sn(j>'- — z)sn(z — x)sn( j: — j) z= o. 



» Dans cette identité, changeons o) en &) ~+- i¥J; elle deviendra 



( [,\ S"(.^"-~^) , ^"(^ — ■'•) ^_ sn(.r — J-) y[\{x—z]sn[z — x)i.n[x—y) 



y*/ en I M — .t\ sn ( M — v\ sn f w — z ] 



sn[w — .T-) sn(w — y] sn(w — z) sn[w^a:)sn(w — j-)sin(M — z) 



» Comparons les identités précédentes aux formules (2). On voit immé- 

 diatement que, si l'on détermine y — z, z — x^ k par les trois équations 



, ^, sn(j — z) sn(z — x) !,n(x — )■ ) X- sn(ar — x)sn[Y — z) sn(z — x) 



\^l a " l "~ l " d ' 



on pourra poser 



/ e'"i = k sn(w — y) sn (m — z), 



(6) I e'"^ — /t sn ( oj — x) sn (oj — z), 



[ e""-' — A-sn(oj — y) sn(oj — o"), 



et ces formules, contenant l'arbitraire w, résoudront complètement la ques- 

 tion proposée. Je n'entrerai pas dans le détail des calculs, et je me conten- 

 terai de remarquer que, pour obtenir des angles w, réels, il suffit de prendre 



K.' 

 pour w des valeurs complexes dans lesquelles le coefficient de / est - — • 



» J'ajouterai que le module A est une fonction très-simple de l'expres- 

 sion 



P(fl + b +C+ d) 

 abcd 



en sorte que tous les quadrilatères pour lesquels l'expression précédente 

 aura la même valeur conduiront à des fonctions elliptiques de même mo- 

 dule. » 



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