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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les développements en séries dont les termes 

 sont les fondions Y„ de Laplace. Noie de M. A. de Saixt-Germaix. 



i> Poisson a essayé, à diverses reprises, de démontrer qu'une fonction 

 bien déterminée de deux variables, F(ô, 4'), peut toujours être développée 

 en une série dont les termes sont les fonctions Y„ iiilroduites dans l'Ana- 

 lyse par Laplace; celte importante proposition a été établie par Dirichlet, 

 puis par plusieurs géomètres, entre autres par M. Darboux, qui en a 

 donné une démonstration extrêmement simple; mais je ne crois pas qu'on 

 ait remarqué qu'il aurait suffi d'ajouter bien peu de chose aux résultats 

 obtenus par Poisson pour faire une démonstration complète et digne d'in- 

 térêt. Si l'on désigne par a une quantité moindre que l'unité et par P„ ce 

 que devient le polynôme X„ quand on y remplace jc par 



p = cos5 cos&'+ sinS sinô' cos[i\i — ij>'). 



on a 1 égalité 



"—— j-=Po-(-3«P, + /■«=?.+ . . + (2 « + l)«"P„4- .... 



(l — ipoi H- a') = 



Multiplions par -^--F{6\ '\>' ) sm ô' dO' d'^'' , et intégrons : 



» Tant que a <; i, le second membre forme luie série convergente, qu'on 

 peut écrire, d'après une des définitions des Y„, sous la forme 



(2) Yo + « Y, -1- a= Y„ + . , . + a" Y„ + . . . , 



et l'égalité (i) est incontestable. Poisson s'est demandé ce cju'clle devient 

 quand on fait tendre indéfiniment a vers l'unité. Il a d'abord prouvé, par 

 une analyse très-ingénieuse, que la limite du premier membre est F(S, t|^); 

 la limite du second membre est la série 



(3) Yo + Y, +Y, -f-... + Y„ + .... 



