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Mais, pour que cette série représente r(5, 4')' '' ^'^^^^ d'abord qu'elle soit 

 convergente et que, de plus, la série (2) varie d'une manière continue 

 quand a tend vers l'unité, et ce sont ces deux propriétés que Poisson n'a 

 pu démontrer. Toutefois il avait prouvé que les termes de la série (3) vont 

 en décroissant indéfiniment quand la fonction F[0, 4') a <nie valeur unique 

 et déterminée pour chaque direction du rayon vecteur défini par les coor- 

 données Q et i{j, ce qui revient à dire que cette fonction ne change pas 

 quand on change (|^ en t]; + 2kn et qu'elle est indépendante de i}/ quand 

 Q = Jcn, et c'est le seul cas qui se présente dans les applications à la 

 Mécanique ou à la Physique. Soit donc A la valeur maximum de l'ex- 

 pression 



F(6', (];') satisfaisant aux conditions énoncées, on a 



Or cette inégalité ne prouve pas que la série (2) soit fonction continue de a, 

 ni même que la série (3) soit convergente; mais ces deux points seront 

 établis, comme on va le voir, si je montre que l'on a, en valeur absolue, 



(4) r f'^P„smO'clQ'd^'<^±^. 



Cette inégalité sera prouvée si je montre qu'elle est vraie quand on rem- 

 place, dans tous les éléments de l'intégrale double, P„ par sa valeur arith- 

 métique; l'intégrale représenterait alors la masse M d'une couche sphérique 

 de rayon égal à l'unité, dont la densité au point (5', il*') serait égale à la 

 valeur absolue de P„. Pour calculer M, je divise la couclie en un nombre 

 très-grand /jl d'éléments égaux en surface, et je suppose que les densités 

 moyennes de ces éléments soient respectivement e,, s,, . . . , s^^; on a 



M = lim ~ (e, + £2 + • • • + £|j.)- 



H Considérons une seconde couche dont la densité au point (§', y) soit 

 P,7; sa masse sera, en vertu d'une formule connue. 



Jo Jo ' 2« + i 



