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» J'ai trouvé cette nouvelle expression de QfJ" : 



pour a; ^ cosJ. 



Je vais démontrer directement les formules (2) et (4)> sans passer 

 par (1) et (3). 



On a [loc. cit.) 



(- 0"QoT= I - 'rU, + fr{n' - i = )H,, -. .. , 

 où 



H,,- = — - / (i — sin-Jsin^ffi))'<7o, 



[i. ■?...., y 7: J^ ^ ^' ^' 



il en résultera, en posant Ç = 1 — sin^Jsin-ç, 



(-.j"Q:::'=-r['-f:ç+'^^i^'"--Vf. 



ou, en faisant 



(5) U„(a^) = , __ ,r + ^-^-^o;- ,.,._,1_3. ^' + . .., 



(6) (-l)«Q:;:'=;^J\T„(a:).fy, 



pour a; = I — sin^Jsin^'ijj. 



» La fonclion U„ s'exprime très-simplement à l'aide des fonctions X„; 

 on a, en effet, 



U„(^)= ^ ,4^, ïx"-* (i - x)"], 



j, , . 2 + 1 



d ou, en posant x = » 



U 



-(^)= ,.J^-„.- ['-''^'-'-^-'""'-"g^ "'-)-] 



d'où, en désignant par Z„ce que devient la fonction X„ de Legendre, quand 

 on y remplace oc jjar z, 



(7) (_ ,)«2U„(-^) = (^ - i) Z« + [n - i)j-Zn-^dz. 



